Mam zmienne losowe . X 0 ma rozkład normalny ze średnią μ > 0 i wariancją 1 . Wartości X 1 , … , X n rv są zwykle rozkładane ze średnią 0 i wariancją 1 . Wszystko jest od siebie niezależne.
Niech oznacza zdarzenie, w którym X 0 jest największym z nich, tj. X 0 > max ( X 1 , … , X n ) . Chcę obliczyć lub oszacować Pr [ E ] . Szukam wyrażenia dla Pr [ E ] , w funkcji μ , n lub rozsądnego oszacowania lub przybliżenia dla .
W mojej aplikacji jest stałe ( ) i chcę znaleźć najmniejszą wartość dla która sprawia, żen = 61 μ Pr [ E ] ≥ 0,99 , ale ciekawi mnie również ogólne pytanie.
Odpowiedzi:
Obliczenia takich prawdopodobieństw zostały dogłębnie zbadane przez inżynierów komunikacyjnych pod nazwą -ary ortogonalna sygnalizacja, gdzie model jest taki, że jeden z równej energii jest wysyłany równie prawdopodobne sygnały ortogonalne, a odbiornik próbuje zdecydować, który z nich jest transmitowany, badając wyjścia filtrów dopasowanych do sygnałów. Uwarunkowane tożsamością transmitowanego sygnału, wyjściowe próbki dopasowanych filtrów są (warunkowo) niezależnymi zmiennymi losowymi normalnymi zmiennymi jednostkowymi. Wyjściowa próbka filtra dopasowana do przesyłanego sygnału jest losową zmienną podczas gdy wyjściowe wartości wszystkich pozostałych filtrów toM MM M N ( 0 , 1 )N(μ,1) N(0,1) zmienne losowe.
Warunkowego prawdopodobieństwo prawidłowej decyzji (co w tym kontekście jest zdarzenie ) uwarunkowany jest P ( C | X 0 = α ) = n Π i = 1 P { X i < α ∣ X 0 = α } = [ Φ ( α ) ] n gdzie Φ ( ⋅ ) X 0 = αC={X0>maxiXi} X0=α
Z granicy związku widzimy, że pożądana wartość dla P { X 0 < max i X i } jest ograniczona powyżej o 60 ⋅ Q ( μ / √0.01 P{X0<maxiXi} 60⋅Q(μ/2–√) 0.01 μ=5.09… μ=4.919…
źródło
Formalna odpowiedź:
Rozkład prawdopodobieństwa (gęstość) dla maksimum zmiennych iid wynosi: p N ( x )N pN(x)=Np(x)ΦN−1(x) p Φ jest funkcją rozkładu skumulowanego.
Konieczne może być przeanalizowanie różnych przybliżeń, aby w sposób praktyczny poradzić sobie z tym w przypadku konkretnego zastosowania.
źródło