Czy zmienne losowe są skorelowane tylko wtedy, gdy ich szeregi są skorelowane?

20

Załóżmy że są ciągłymi zmiennymi losowymi ze skończonymi sekundami. wersję współczynnika korelacji rang Spearmana można zdefiniować jako współczynnik iloczynu iloczynu Pearsona ρ całek prawdopodobieństwa przekształca F_X (X) i F_Y (Y) , gdzie F_X, F_Y są cdf dla X i Y , tj.ρ s F X ( X ) F Y ( Y ) F X , F Y X YX,YρsFX(X)FY(Y)FX,FYXY

ρs(X,Y)=ρ(F(X),F(Y)) .

Zastanawiam się, czy ogólnie można to wywnioskować

ρ(X,Y)0ρ(F(X),F(Y))0 ?

Tj. Czy mamy korelację liniową wtedy i tylko wtedy, gdy mamy korelację liniową między szeregami?

Aktualizacja: W komentarzach podano dwa przykłady, dlaczego

ρ(FX(X),FY(Y))=0ρ(X,Y)=0

nie jest ogólnie prawdą, nawet jeśli X i Y mają taki sam rozkład. Pytanie powinno zostać przeformułowane jako

ρ(X,Y)=0ρ(FX(X),FY(Y)) ?

Interesuje mnie również, czy to prawda / fałsz, jeśli X i Y mają ten sam rozkład.

(Uwaga: Jeśli X i Y są dodatnio zależne od kwadrantu, tj. δ(x,y)=FX,Y(x,y)FX(x)FY(y)>0 to formuła kowariancji Hoeffdinga Cov(X,Y)=δ(x,y)dxdy daje, że ρ(X,Y)>0 i ρ(F(X),F(Y))>0 )

FSpanhel
źródło
4
Wskazówka: Aby uzyskać odpowiedź, zastanów się, co stanie się z każdą miarą korelacji w ramach arbitralnej transformacji ściśle monotonicznej.
kardynał
1
@ cardinal: cóż, rho Spearmana jest niezmienny przy ściśle monotonicznych przekształceniach, klasyczny współczynnik korelacji liniowej zmieni się, ale nie jest jasne, jak (?) ... w szczególności nie wiem, czy wartość korelacji liniowej może zmienić swoją wartość od zera do niezerowe przy ściśle monotonicznych przekształceniach ... ale może przegapiłem twój punkt?
FSpanhel
Jesteś na dobrej drodze! Niech i . Spójrzmy teraz na ściśle monotoniczne przekształcenia tych dwóch. Nie zaznaczyłem wyraźnie, ale prawdopodobnie zadziała. Y = X 2 g ( z ) = exp ( - z / 2 )XN(0,1)Y=X2g(z)=exp(z/2)
kardynał
2
Masz rację. Drugi przykład nie działa tak, jak zamierzałem / podejrzewałem. Jednak nadal obowiązuje ogólna zasada konstruowania takiego kontrprzykładu. I tak, tę kwestię można ściśle powiązać z kopulami. :-)
kardynał
2
Gdy potwierdzisz swoje kontrprzykłady, rozważ zapisanie ich w odpowiedzi na ten post. Z przyjemnością będę go głosować. Twoje zdrowie.
kardynał

Odpowiedzi:

8

Żadna z korelacji równa zero niekoniecznie mówi wiele o drugiej, ponieważ „ważą” one dane - zwłaszcza dane ekstremalne - zupełnie inaczej. Mam zamiar pobawić się próbkami, ale podobne przykłady można skonstruować z dwuwymiarowymi rozkładami / kopulami.

1. Korelacja Spearmana 0 nie implikuje korelacji Pearsona 0 :

Jak wspomniano w pytaniu, w komentarzach znajdują się przykłady, ale podstawowa struktura to „skonstruuj przypadek, w którym korelacja Spearmana wynosi 0, a następnie weź skrajny punkt i uczyń go bardziej ekstremalnym bez zmiany korelacji Spearmana”

Przykłady w komentarzach obejmują to bardzo dobrze, ale zamierzam tutaj grać bardziej „losowym” przykładem. Rozważmy więc te dane (w R), które z założenia mają korelację Spearmana i Pearsona 0:

x=c(0.660527211673069, 0.853446087136149, -0.00673848667511427, 
-0.730570343152498, 0.0519171047989013, 0.00190761493801791, 
-0.72628058443299, 2.4453231076856, -0.918072410495674, -0.364060229489348, 
-0.520696233492491, 0.659907250608776)
y=c(-0.0214697990371976, 0.255615059485107, 1.10561181413232, 0.572216886959267, 
-0.929089680725018, 0.530329993414123, -0.219422799586819, -0.425186120279194, 
-0.848952532832652, 0.859700836483046, -0.00836246690850083, 
1.43806947831794)

cor(x,y);cor(x,y,method="sp")
[1] 1.523681e-18
[1] 0

Teraz dodaj 1000 do y [12] i odejmij 0,6 od x [9]; korelacja Spearmana pozostaje niezmieniona, ale korelacja Pearsona wynosi obecnie 0,1841:

  ya=y
  ya[12]=ya[12]+1000
  xa=x
  xa[9]=xa[9]-.6
  cor(xa,ya);cor(xa,ya,method="sp")
[1] 0.1841168
[1] 0

(Jeśli chcesz mieć duże znaczenie dla tej korelacji Pearsona, po prostu powtórz całą próbę kilka razy.)

2. Korelacja Pearsona 0 nie implikuje korelacji Spearmana 0 :

Oto dwa przykłady z zerową korelacją Pearsona, ale niezerową korelacją Spearmana (i ponownie, jeśli chcesz mieć duże znaczenie w tych korelacjach Spearmana, po prostu powtórz całą próbkę kilka razy).

Przykład 1:

 x1=c(rep(-3.4566679074320789866,20),-2:5)
 y1=x1*x1
 cor(x1,y1);cor(x1,y1,method="spe")
[1] -8.007297e-17 
[1] -0.3512699   

punkty na paraboli ustawionej tak, by dać 0 Pearsona, ale niezerową korelację Spearmana

Przykład 2:

 k=16.881943016134132 
 x2=c(-9:9,-k,k)
 y2=c(-9:9,k,-k)
 cor(x2,y2);cor(x2,y2,method="spe")
[1] -9.154471e-17
[1] 0.4805195

punkty na linii ay = x, z wyjątkiem najmniejszej i największej, która leży na y = -x

W tym ostatnim przykładzie korelację Spearmana można wzmocnić, dodając więcej punktów na y = x, jednocześnie czyniąc dwa punkty w lewym górnym i prawym dolnym rogu bardziej ekstremalnymi, aby utrzymać korelację Pearsona na 0.

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło