Załóżmy że są ciągłymi zmiennymi losowymi ze skończonymi sekundami. wersję współczynnika korelacji rang Spearmana można zdefiniować jako współczynnik iloczynu iloczynu Pearsona ρ całek prawdopodobieństwa przekształca F_X (X) i F_Y (Y) , gdzie F_X, F_Y są cdf dla X i Y , tj.ρ s F X ( X ) F Y ( Y ) F X , F Y X Y
.
Zastanawiam się, czy ogólnie można to wywnioskować
?
Tj. Czy mamy korelację liniową wtedy i tylko wtedy, gdy mamy korelację liniową między szeregami?
Aktualizacja: W komentarzach podano dwa przykłady, dlaczego
nie jest ogólnie prawdą, nawet jeśli i mają taki sam rozkład. Pytanie powinno zostać przeformułowane jako
?
Interesuje mnie również, czy to prawda / fałsz, jeśli i mają ten sam rozkład.
(Uwaga: Jeśli i są dodatnio zależne od kwadrantu, tj. to formuła kowariancji Hoeffdinga daje, że i )
źródło
Odpowiedzi:
Żadna z korelacji równa zero niekoniecznie mówi wiele o drugiej, ponieważ „ważą” one dane - zwłaszcza dane ekstremalne - zupełnie inaczej. Mam zamiar pobawić się próbkami, ale podobne przykłady można skonstruować z dwuwymiarowymi rozkładami / kopulami.
1. Korelacja Spearmana 0 nie implikuje korelacji Pearsona 0 :
Jak wspomniano w pytaniu, w komentarzach znajdują się przykłady, ale podstawowa struktura to „skonstruuj przypadek, w którym korelacja Spearmana wynosi 0, a następnie weź skrajny punkt i uczyń go bardziej ekstremalnym bez zmiany korelacji Spearmana”
Przykłady w komentarzach obejmują to bardzo dobrze, ale zamierzam tutaj grać bardziej „losowym” przykładem. Rozważmy więc te dane (w R), które z założenia mają korelację Spearmana i Pearsona 0:
Teraz dodaj 1000 do y [12] i odejmij 0,6 od x [9]; korelacja Spearmana pozostaje niezmieniona, ale korelacja Pearsona wynosi obecnie 0,1841:
(Jeśli chcesz mieć duże znaczenie dla tej korelacji Pearsona, po prostu powtórz całą próbę kilka razy.)
2. Korelacja Pearsona 0 nie implikuje korelacji Spearmana 0 :
Oto dwa przykłady z zerową korelacją Pearsona, ale niezerową korelacją Spearmana (i ponownie, jeśli chcesz mieć duże znaczenie w tych korelacjach Spearmana, po prostu powtórz całą próbkę kilka razy).
Przykład 1:
Przykład 2:
W tym ostatnim przykładzie korelację Spearmana można wzmocnić, dodając więcej punktów na y = x, jednocześnie czyniąc dwa punkty w lewym górnym i prawym dolnym rogu bardziej ekstremalnymi, aby utrzymać korelację Pearsona na 0.
źródło