Czy wielowymiarowe Centralne Twierdzenie Graniczne (CLT) obowiązuje, gdy zmienne wykazują doskonałą współzależność?

10

Tytuł podsumowuje moje pytanie, ale dla jasności rozważ następujący prosty przykład. Niech XiiidN(0,1) , i=1,...,n . Zdefiniuj:

Sn=1ni=1nXi
i
Tn=1ni=1n(Xi21)
Moje pytanie: Mimo że Sn i Tn są całkowicie zależne, gdy n=1 , czy nSn i nTn zbieżne do wspólnego rozkładu normalnego jako n ?

Motywacja: Moja motywacja do pytania wynika z faktu, że dziwnie (ale cudownie) wydaje się, że Sn i Tn są całkowicie zależne, gdy n=1 , ale implikacją wielowymiarowego CLT jest to, że podchodzą do niezależności jako n (wynikałoby to z tego, że Sn i Tn są nieskorelowane dla wszystkich n , stąd jeśli są asymptotycznie normalne w stawie, to muszą również być asymptotycznie niezależne).

Z góry dziękuję za wszelkie odpowiedzi lub komentarze!

ps, jeśli możesz podać jakieś referencje itp., tym lepiej!

Colin T. Bowers
źródło
Brak odpowiedzi, ale komentarz. Nie uważam tego za bardzo zaskakujące. Zależność, którą zauważysz dla n = 1, szybko maleje wraz ze wzrostem n.
Erik,
@egbutter podał dobrą odpowiedź. Jeśli nadal szukasz alternatywnej lub dodatkowej intuicji, zadzwoń do mnie, a zobaczę, jak napisać coś nieco innego.
kardynał
@cardinal Bardzo dziękuję za ofertę, ale w tym momencie jestem całkiem zadowolony - nagrodę przyznałem egbutter. Myślę, że mam intuicję. Moim głównym celem w postach było sprawdzenie, czy ktoś wskoczył i powiedział: „Nie, nie, wszystko popełniłeś źle z powodu ...” :-) Na zdrowie.
Colin T Bowers

Odpowiedzi:

6

Krótka odpowiedź, jak rozumiem twoje q, brzmi „tak, ale ...” wskaźniki zbieżności na S, T i innych momentach niekoniecznie są takie same - sprawdź wyznaczanie granic za pomocą twierdzenia Berry'ego-Esseena .

W przypadku, gdy źle rozumiem twoje q, Sn i Tn trzymają się nawet CLT w warunkach słabej zależności (miksowania): sprawdź CLT Wikipedii, aby zapoznać się z procesami zależnymi .

CLT jest takim ogólnym twierdzeniem - podstawowy dowód nie wymaga niczego więcej, niż funkcja charakterystyczna Sn i Tn jest zbieżna z funkcją charakterystyczną normalnej normy, a następnie Twierdzenie Levy'ego o ciągłości mówi, że zbieżność funkcji charakterystycznej implikuje zbieżność rozkładu.

Jan Kucharz stanowi doskonałą wyjaśnienie błędu CLT tutaj .

egbutter
źródło
Dziękuję za odpowiedź. Jeśli chodzi o to pytanie, tak naprawdę nie martwię się stopniem konwergencji ani tym, czy CLT zachowa się w bardziej ogólnych warunkach, np. W zależności. Naprawdę liczyłem na odniesienie lub stwierdzenie, które uzasadnia użycie wielowymiarowego CLT, gdy i-ty składnik każdej sumy wykazuje doskonałą równoczesną zależność. Następnie odnalazłem odniesienie w „Stochastycznej Teorii Granic” Davidsona, stwierdzające, że wielowymiarowy CLT utrzymuje dowolną współczesną zależność, ale wciąż szukam trochę rygorystyczności wokół tego stwierdzenia.
Colin T Bowers
Wygląda na to, że przesadzasz. Czy twoje i w [1, n] komponentach „współczesnych”, o których mówisz? Jeśli tak, to ważne jest, aby Twoje Sn i Tn nadal były zbieżne (możesz to sobie udowodnić przy użyciu tej samej metody, co wspomniany powyżej dowód „starej szkoły” CLT) - ale dla danego i ich błędy będą być innym. To nie zmienia faktu, że CLT ma. Rozróżnienie wielu / jednowymiarowych nie jest ważne.
egbutter
Tak, ja są współczesnymi składnikami. Dobra sugestia dotycząca przeprowadzenia przykładu przez dowód. Właściwie to zrobiłem i nie znalazłem żadnych problemów, co paradoksalnie mnie denerwowało. Być może w tym momencie przesadzam z przemyśleniami :-) Jeszcze raz dziękuję za odpowiedź. Jeśli do końca dnia nikt nie ma wątpliwości, zaznaczę twoją odpowiedź jako odpowiedź. Twoje zdrowie.
Colin T Bowers
Z pewnością potrafię wczuć się w świat - często robię to samo! :)
egbutter
1

Oczywiście, to niczego nie dowodzi , ale zawsze uważam, że wykonywanie symulacji i tworzenie wykresów jest bardzo przydatne w zrozumieniu wyników teoretycznych.

Jest to szczególnie prosty przypadek. Generujemy losowych zmiennych normalnych i obliczamy i ; powtórz razy. Przedstawiono wykresy dla i . Łatwo jest zauważyć, że zależność słabnie wraz ze wzrostem ; przy wykres jest prawie nie do odróżnienia od niezależności.nSnTnmn=1,10,1001000nn=100

test <- function (m, n) 
{
    r <- matrix(rnorm(m * n), nrow = m)
    cbind(rowMeans(r), rowSums(r^2 - 1)/n)
}

par(mfrow=c(2,2))
plot(test(100, 1))
plot(test(100, 2))
plot(test(100, 5))
plot(test(100, 100))

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Hong Ooi
źródło