Tytuł podsumowuje moje pytanie, ale dla jasności rozważ następujący prosty przykład. Niech , . Zdefiniuj:
i
Moje pytanie: Mimo że i są całkowicie zależne, gdy , czy i zbieżne do wspólnego rozkładu normalnego jako ?
Motywacja: Moja motywacja do pytania wynika z faktu, że dziwnie (ale cudownie) wydaje się, że i są całkowicie zależne, gdy , ale implikacją wielowymiarowego CLT jest to, że podchodzą do niezależności jako (wynikałoby to z tego, że i są nieskorelowane dla wszystkich , stąd jeśli są asymptotycznie normalne w stawie, to muszą również być asymptotycznie niezależne).
Z góry dziękuję za wszelkie odpowiedzi lub komentarze!
ps, jeśli możesz podać jakieś referencje itp., tym lepiej!
normal-distribution
multivariate-analysis
independence
central-limit-theorem
joint-distribution
Colin T. Bowers
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Krótka odpowiedź, jak rozumiem twoje q, brzmi „tak, ale ...” wskaźniki zbieżności na S, T i innych momentach niekoniecznie są takie same - sprawdź wyznaczanie granic za pomocą twierdzenia Berry'ego-Esseena .
W przypadku, gdy źle rozumiem twoje q, Sn i Tn trzymają się nawet CLT w warunkach słabej zależności (miksowania): sprawdź CLT Wikipedii, aby zapoznać się z procesami zależnymi .
CLT jest takim ogólnym twierdzeniem - podstawowy dowód nie wymaga niczego więcej, niż funkcja charakterystyczna Sn i Tn jest zbieżna z funkcją charakterystyczną normalnej normy, a następnie Twierdzenie Levy'ego o ciągłości mówi, że zbieżność funkcji charakterystycznej implikuje zbieżność rozkładu.
Jan Kucharz stanowi doskonałą wyjaśnienie błędu CLT tutaj .
źródło
Oczywiście, to niczego nie dowodzi , ale zawsze uważam, że wykonywanie symulacji i tworzenie wykresów jest bardzo przydatne w zrozumieniu wyników teoretycznych.
Jest to szczególnie prosty przypadek. Generujemy losowych zmiennych normalnych i obliczamy i ; powtórz razy. Przedstawiono wykresy dla i . Łatwo jest zauważyć, że zależność słabnie wraz ze wzrostem ; przy wykres jest prawie nie do odróżnienia od niezależności.n Sn Tn m n=1,10,100 1000 n n=100
źródło