Związek między funkcją generującą moment a funkcją charakterystyczną

17

Próbuję zrozumieć związek między funkcją generującą moment a funkcją charakterystyczną. Funkcja generowania momentu jest zdefiniowana jako:

MX(t)=E(exp(tX))=1+tE(X)1+t2E(X2)2!++tnE(Xn)n!

Wykorzystanie rozszerzenia szeregowego , Mogę znaleźć wszystkie momenty rozkładu dla zmiennej losowej X.exp(tX)=0(t)nXnn!

Funkcja charakterystyczna jest zdefiniowana jako:

φX(t)=E(exp(itX))=1+itE(X)1t2E(X2)2!++(it)nE(Xn)n!

I nie w pełni zrozumieć, jakie informacje Liczby urojone daje mi więcej. Widzę, że i 2 = - 1 i dlatego nie mamy tylko + w funkcji charakterystycznej, ale dlaczego musimy odejmować momenty w funkcji charakterystycznej? Jaki jest matematyczny pomysł?ii2=1+

Giuseppe
źródło
7
Ważną kwestią jest to, że funkcja generująca moment nie zawsze jest skończona! (Zobacz na przykład to pytanie .) Jeśli chcesz zbudować ogólną teorię, powiedzmy, o zbieżności w dystrybucji, chcesz mieć możliwość pracy z jak największą liczbą obiektów. Funkcja charakterystyczna jest oczywiście skończona dla dowolnej zmiennej losowej od . |exp(itX)|1
kardynał
Podobieństwa w rozszerzeniach Taylora nadal pozwalają odczytać momenty, w których one istnieją, ale zauważ, że nie wszystkie dystrybucje mają momenty, więc zainteresowanie tymi funkcjami wykracza daleko poza to! :)
kardynał
6
Należy również zauważyć, że MGF jest transformacją Laplace'a zmiennej losowej, a CF jest transformacją Fouriera. Istnieją fundamentalne relacje między tymi integralnymi transformacjami, patrz tutaj .
tchakravarty
Myślałem, że CF jest odwrotną transformatą Fouriera (a nie transformatą Fouriera) rozkładu podatności?
Giuseppe,
1
To rozróżnienie jest tylko kwestią znaku w wykładniku i być może stałą multiplikatywną.
Glen_b

Odpowiedzi:

12

Jak wspomniano w komentarzach, funkcje charakterystyczne zawsze istnieją, ponieważ wymagają one integracji funkcji modułu 1. Jednak funkcja generowania momentu nie musi istnieć, ponieważ w szczególności wymaga istnienia momentów o dowolnej kolejności.

Kiedy to wiemy mi[mitX] jest możliwy do zintegrowania dla wszystkich tmożemy zdefiniować sol(z): =mi[mizX] dla każdej liczby zespolonej z. Wtedy to zauważamyM.X(t)=sol(t) i φX(t)=sol(jat).

Davide Giraudo
źródło