Próbuję zrozumieć związek między funkcją generującą moment a funkcją charakterystyczną. Funkcja generowania momentu jest zdefiniowana jako:
Wykorzystanie rozszerzenia szeregowego , Mogę znaleźć wszystkie momenty rozkładu dla zmiennej losowej X.
Funkcja charakterystyczna jest zdefiniowana jako:
I nie w pełni zrozumieć, jakie informacje Liczby urojone daje mi więcej. Widzę, że i 2 = - 1 i dlatego nie mamy tylko + w funkcji charakterystycznej, ale dlaczego musimy odejmować momenty w funkcji charakterystycznej? Jaki jest matematyczny pomysł?
Odpowiedzi:
Jak wspomniano w komentarzach, funkcje charakterystyczne zawsze istnieją, ponieważ wymagają one integracji funkcji modułu1 . Jednak funkcja generowania momentu nie musi istnieć, ponieważ w szczególności wymaga istnienia momentów o dowolnej kolejności.
Kiedy to wiemymi[ et X] jest możliwy do zintegrowania dla wszystkich t możemy zdefiniować sol( z) : = E[ ezX] dla każdej liczby zespolonej z . Wtedy to zauważamyM.X( t ) = g( t ) i φX( t ) = g( i t ) .
źródło