uwarunkowane sumą, jaki jest rozkład ujemnych dwumianów

9

Jeśli są iid ujemny dwumianowy, to co jest dystrybucja podanax1,x2,,xn(x1,x2,,xn)

x1+x2++xn=N ?

N jest ustalony.

Jeśli są to zależnie od sumy jest wielomianowe. Nie jestem pewien, czy jest to prawdą w przypadku ujemnego dwumianu, ponieważ jest to mieszanina Poissona.x1,x2,,xn(x1,x2,,xn)

Jeśli chcesz wiedzieć, nie jest to zadanie domowe.

qkhhly
źródło
2
Biorąc pod uwagę związek między rozkładami gamma a Dirichletem, najpierw zgaduję, że - przynajmniej biorąc pod uwagę odpowiednie ograniczenia na dwumianach ujemnych - w niektórych przypadkach może okazać się wielomianem Dirichleta.
Glen_b
Googlowanie po terminach w twoim poście i mój komentarz generuje kilka trafień, które sugerują, że może to być owocna linia do kontynuowania.
Glen_b

Odpowiedzi:

7

Przepraszam za spóźnioną odpowiedź, ale to mnie też wkurzyło i znalazłem odpowiedź. Rozkład jest rzeczywiście wielomianowy Dirichleta i indywidualny neg. rozkłady dwumianowe nawet nie muszą być identyczne, o ile ich współczynnik Fano (stosunek wariancji do średniej) jest identyczny.

Długa odpowiedź:

Jeśli sparametryzujesz NB jako:

p(X=x|λ,θ)=NB(x|λ,θ)=(θ1λ+x1x)(11+θ1)x(θ11+θ1)θ1λ

Następnie i iE(X)=λVar(X)=λ(1+θ)

i:XiNB(λi,θ) implikuje

XiNB(λi,θ)

Następnie przyjmując prawdopodobieństwo na podstawie sumy:

N.b(xja|λja,θ)N.b(xja|λja,θ)=(11+θ-1)xja(θ-11+θ-1)θ-1λja(θ-1λja+xja-1xja)(11+θ-1)xja(θ-11+θ-1)θ-1λja(θ-1λja+xja-1xja)==Γ(xja+1)Γ(θ-1λja)Γ(θ-1λja+xja)Γ(θ-1λja+xja)Γ(xja+1)Γ(θ-1λja)=reM.(x1,...,xn|θ-1λ1,...,θ-1λn)

gdzie jest prawdopodobieństwem wielomianowym Dirichleta. Wynika to po prostu z faktu, że oprócz współczynników wielomianowych, wiele terminów ułamka po lewej stronie anuluje się, pozostawiając tylko te funkcje funkcji gamma, które są takie same jak w przypadku prawdopodobieństwa DM.reM.

Należy również zauważyć, że parametrów tego modelu nie można zidentyfikować jako wzrostu przy jednoczesnym spadku wszystkich skutkuje dokładnie takim samym prawdopodobieństwem.θλja

Najlepsze odniesienia, jakie mam w tym zakresie, to sekcje od 2 do 3.1 Guimarães i Lindrooth (2007): Kontrolowanie nadmiernej dyspersji w zgrupowanych modelach logitów warunkowych: Prosta w obliczeniach aplikacja regresji wielomianowej Dirichleta - jest niestety opłacona, ale nie byłem w stanie znajdź odniesienie nieopłacone.

Martin Modrák
źródło