Pytanie, jak znormalizować współczynnik regresji

16

Nie jestem pewien, czy normalizacja jest tu właściwym słowem, ale postaram się zilustrować, o co próbuję zapytać. Zastosowany tutaj estymator to najmniej kwadratów.

Załóżmy, że masz y=β0+β1x1 , możesz wyśrodkować go wokół średniej o y=β0+β1x1 gdzie β0=β0+β1x¯1 i x1=xx¯ , tak że β0 nie ma już żadnego wpływu na oszacowanie β1 .

Przez to średniej p 1 w y = β 1 x ' 1 odpowiada p 1 w y = β 0 + β 1 x 1 . Zmniejszyliśmy równanie, aby ułatwić obliczenia metodą najmniejszych kwadratów.β^1y=β1x1β^1y=β0+β1x1

Jak ogólnie stosuje się tę metodę? Teraz mam model y=β1ex1t+β2ex2t , staram się go zredukować do y=β1x .

Sabre CN
źródło
Jakim jesteś analizowania danych i dlaczego chcesz usunąć współzmiennej, ex1t , od modelu. Czy jest też powód, dla którego usuwasz przechwytywanie? Jeśli chodzi o wyśrodkowanie danych, nachylenie będzie takie samo w modelu z / bez przechwytywania, ale model z przechwytywaniem lepiej dopasuje dane.
caburke
@caburke Nie martwię się o dopasowanie modelu, ponieważ po obliczeniu i β 2 mogę je ponownie umieścić w modelu. Celem tego ćwiczenia jest oszacowanie β 1 . Zmniejszając pierwotne równanie do tylko y = β 1 x , obliczenie najmniejszych kwadratów będzie łatwiejsze (x 'jest częścią tego, co próbuję się dowiedzieć, może obejmować e x 1 t ). Próbuję nauczyć się mechanizmów, to pytanie z książki Tukeya. β1β2β1y=β1xex1t
Sabre CN
@ca Obserwacja na końcu twojego komentarza jest zagadkowa. Nie może mieć zastosowania do wyrażeń nieliniowych - nie zawierają one niczego, co można zasadnie uznać za „nachylenie” - ale nie jest poprawne w ustawieniach OLS: dopasowanie do danych ześrodkowanych na średnich jest dokładnie tak dobre, jak dopasuj z przecięciem. Szabla, twój model jest niejednoznaczny: które z są zmiennymi, a które parametrami? Jaka jest zamierzona struktura błędów? (A z której książki Tukey pochodzi pytanie?)β1,β2,x1,x2,t
whuber
1
@whuber To jest z książki Tukeya „Analiza danych i regresja: drugi kurs statystyki” rozdział 14A. są parametrami, które próbujemy oszacować, x 1 , x 2 są zmiennymi, z których każda zawiera n obserwacji, t przyjmuję, że jest zmienną czasową związaną z obserwacjami, jednak jej nie określono. Błąd powinien być normalny i można go zignorować w przypadku tego pytania. β1,β2x1,x2t
Sabre CN
1
@ whuber Odniosłem się głównie do pierwszej części postu, ale nie było to jasne w moim komentarzu. Miałem na myśli to, że jeśli masz na myśli tylko środek , a nie y , jak się wydawało sugerowane w OP, a następnie usuniesz punkt przecięcia, dopasowanie będzie gorsze, ponieważ niekoniecznie jest tak, że ˉ y = 0 . Nachylenie nie jest oczywiście dobrym określeniem współczynnika w modelu wymienionym w ostatniej linii PO. xyy¯=0
caburke

Odpowiedzi:

38

Chociaż nie mogę tutaj odpowiedzieć na pytanie - które wymagałoby małej monografii - pomocne może być podsumowanie niektórych kluczowych pomysłów.

Pytanie

Zacznijmy od ponownego sformułowania pytania i użycia jednoznacznej terminologii. W danych składa się z listy uporządkowanych par . Znane stałe α 1 i α 2 określają wartości x 1 , i = exp ( α 1 t i ) oraz x 2 , i = exp ( α 2 t i ) . Zakładamy model, w którym(ti,yi) α1α2x1,i=exp(α1ti)x2,i=exp(α2ti)

yi=β1x1,i+β2x2,i+εi

dla stałych i β 2 należy oszacować, ε i są przypadkowe, a także - z dobrym przybliżeniem w każdym razie - niezależne i mają wspólną wariancji (których oszacowanie jest również przedmiotem zainteresowania).β1β2εi

Tło: liniowe „dopasowanie”

Mosteller i Tukey odnoszą się do zmiennych = ( x 1 , 1 , x 1 , 2 , ) i x 2 jako „dopasujący”. Będą one używane do „dopasowania” wartości y = ( y 1 wartości „matcher”. Rozważamy systematyczne zmienianie współczynnika λ w celu przybliżenia y o wielokrotnośćx1(x1,1,x1,2,)x2y=(y1,y2,) in a specific way, which I will illustrate. More generally, let y and x be any two vectors in the same Euclidean vector space, with y playing the role of "target" and xλyλx. The best approximation is obtained when λx is as close to y as possible. Equivalently, the squared length of yλx is minimized.

Jednym ze sposobów na wizualizację tego procesu dopasowywania jest dokonanie rozproszenia z i Y , w którym jest wyciągana wykres x X x . Odległości pionowe między punktami wykresu rozrzutu a tym wykresem są składowymi wektora resztkowego y - λ x ; suma ich kwadratów powinna być jak najmniejsza. Do stałej proporcjonalności kwadraty te są obszarami kół wyśrodkowanymi w punktach ( x i , y i ) o promieniach równych resztom: chcemy zminimalizować sumę obszarów wszystkich tych okręgów.xyxλx yλx(xi,yi)

Here is an example showing the optimal value of λ in the middle panel:

Panel

The points in the scatterplot are blue; the graph of xλx is a red line. This illustration emphasizes that the red line is constrained to pass through the origin (0,0): it is a very special case of line fitting.

Multiple regression can be obtained by sequential matching

Returning to the setting of the question, we have one target y and two matchers x1 and x2. We seek numbers b1 and b2 for which y is approximated as closely as possible by b1x1+b2x2, again in the least-distance sense. Arbitrarily beginning with x1, Mosteller & Tukey match the remaining variables x2 and y to x1. Write the residuals for these matches as x21 and y1, respectively: the 1 indicates that x1 has been "taken out of" the variable.

We can write

y=λ1x1+y1 and x2=λ2x1+x21.

Having taken x1 out of x2 and y, we proceed to match the target residuals y1 to the matcher residuals x21. The final residuals are y12. Algebraically, we have written

y1=λ3x21+y12; whencey=λ1x1+y1=λ1x1+λ3x21+y12=λ1x1+λ3(x2λ2x1)+y12=(λ1λ3λ2)x1+λ3x2+y12.

This shows that the λ3 in the last step is the coefficient of x2 in a matching of x1 and x2 to y.

We could just as well have proceeded by first taking x2 out of x1 and y, producing x12 and y2, and then taking x12 out of y2, yielding a different set of residuals y21. This time, the coefficient of x1 found in the last step--let's call it μ3--is the coefficient of x1 in a matching of x1 and x2 to y.

Finally, for comparison, we might run a multiple (ordinary least squares regression) of y against x1 and x2. Let those residuals be ylm. It turns out that the coefficients in this multiple regression are precisely the coefficients μ3 and λ3 found previously and that all three sets of residuals, y12, y21, and ylm, are identical.

Depicting the process

None of this is new: it's all in the text. I would like to offer a pictorial analysis, using a scatterplot matrix of everything we have obtained so far.

Scatterplot

Because these data are simulated, we have the luxury of showing the underlying "true" values of y on the last row and column: these are the values β1x1+β2x2 without the error added in.

The scatterplots below the diagonal have been decorated with the graphs of the matchers, exactly as in the first figure. Graphs with zero slopes are drawn in red: these indicate situations where the matcher gives us nothing new; the residuals are the same as the target. Also, for reference, the origin (wherever it appears within a plot) is shown as an open red circle: recall that all possible matching lines have to pass through this point.

Much can be learned about regression through studying this plot. Some of the highlights are:

  • The matching of x2 to x1 (row 2, column 1) is poor. This is a good thing: it indicates that x1 and x2 are providing very different information; using both together will likely be a much better fit to y than using either one alone.

  • Once a variable has been taken out of a target, it does no good to try to take that variable out again: the best matching line will be zero. See the scatterplots for x21 versus x1 or y1 versus x1, for instance.

  • The values x1, x2, x12, and x21 have all been taken out of ylm.

  • Multiple regression of y against x1 and x2 can be achieved first by computing y1 and x21. These scatterplots appear at (row, column) = (8,1) and (2,1), respectively. With these residuals in hand, we look at their scatterplot at (4,3). These three one-variable regressions do the trick. As Mosteller & Tukey explain, the standard errors of the coefficients can be obtained almost as easily from these regressions, too--but that's not the topic of this question, so I will stop here.

Code

These data were (reproducibly) created in R with a simulation. The analyses, checks, and plots were also produced with R. This is the code.

#
# Simulate the data.
#
set.seed(17)
t.var <- 1:50                                    # The "times" t[i]
x <- exp(t.var %o% c(x1=-0.1, x2=0.025) )        # The two "matchers" x[1,] and x[2,]
beta <- c(5, -1)                                 # The (unknown) coefficients
sigma <- 1/2                                     # Standard deviation of the errors
error <- sigma * rnorm(length(t.var))            # Simulated errors
y <- (y.true <- as.vector(x %*% beta)) + error   # True and simulated y values
data <- data.frame(t.var, x, y, y.true)

par(col="Black", bty="o", lty=0, pch=1)
pairs(data)                                      # Get a close look at the data
#
# Take out the various matchers.
#
take.out <- function(y, x) {fit <- lm(y ~ x - 1); resid(fit)}
data <- transform(transform(data, 
  x2.1 = take.out(x2, x1),
  y.1 = take.out(y, x1),
  x1.2 = take.out(x1, x2),
  y.2 = take.out(y, x2)
), 
  y.21 = take.out(y.2, x1.2),
  y.12 = take.out(y.1, x2.1)
)
data$y.lm <- resid(lm(y ~ x - 1))               # Multiple regression for comparison
#
# Analysis.
#
# Reorder the dataframe (for presentation):
data <- data[c(1:3, 5:12, 4)]

# Confirm that the three ways to obtain the fit are the same:
pairs(subset(data, select=c(y.12, y.21, y.lm)))

# Explore what happened:
panel.lm <- function (x, y, col=par("col"), bg=NA, pch=par("pch"),
   cex=1, col.smooth="red",  ...) {
  box(col="Gray", bty="o")
  ok <- is.finite(x) & is.finite(y)
  if (any(ok))  {
    b <- coef(lm(y[ok] ~ x[ok] - 1))
    col0 <- ifelse(abs(b) < 10^-8, "Red", "Blue")
    lwd0 <- ifelse(abs(b) < 10^-8, 3, 2)
    abline(c(0, b), col=col0, lwd=lwd0)
  }
  points(x, y, pch = pch, col="Black", bg = bg, cex = cex)    
  points(matrix(c(0,0), nrow=1), col="Red", pch=1)
}
panel.hist <- function(x, ...) {
  usr <- par("usr"); on.exit(par(usr))
  par(usr = c(usr[1:2], 0, 1.5) )
  h <- hist(x, plot = FALSE)
  breaks <- h$breaks; nB <- length(breaks)
  y <- h$counts; y <- y/max(y)
  rect(breaks[-nB], 0, breaks[-1], y,  ...)
}
par(lty=1, pch=19, col="Gray")
pairs(subset(data, select=c(-t.var, -y.12, -y.21)), col="Gray", cex=0.8, 
   lower.panel=panel.lm, diag.panel=panel.hist)

# Additional interesting plots:
par(col="Black", pch=1)
#pairs(subset(data, select=c(-t.var, -x1.2, -y.2, -y.21)))
#pairs(subset(data, select=c(-t.var, -x1, -x2)))
#pairs(subset(data, select=c(x2.1, y.1, y.12)))

# Details of the variances, showing how to obtain multiple regression
# standard errors from the OLS matches.
norm <- function(x) sqrt(sum(x * x))
lapply(data, norm)
s <- summary(lm(y ~ x1 + x2 - 1, data=data))
c(s$sigma, s$coefficients["x1", "Std. Error"] * norm(data$x1.2)) # Equal
c(s$sigma, s$coefficients["x2", "Std. Error"] * norm(data$x2.1)) # Equal
c(s$sigma, norm(data$y.12) / sqrt(length(data$y.12) - 2))        # Equal
whuber
źródło
1
Could multiple regression of y against x1 and x2 still be achieved by first computing y.1 and x2.1 if x1 and x2 were correlated? Wouldn't it then make a big difference whether we sequentially regressed y on x1 and x2.1 or on x2 and x1.2 ? How does this relate to one regression equation with multiple explanatory variables?
miura
1
@miura, One of the leitmotifs of that chapter in Mosteller & Tukey is that when the xi are correlated, the partials xij have low variances; because their variances appear in the denominator of a formula for the estimation variance of their coefficients, this implies the corresponding coefficients will have relatively uncertain estimates. That's a fact of the data, M&T say, and you need to recognize that. It makes no difference whether you start the regression with x1 or x2: compare y.21 to y.12 in my code.
whuber
1
I came across this today, here is what I think on the question by @miura, Think of a 2 dimensional space where Y is to be projected as a combination of two vectors. y = ax1 + bx2 + res (=0). Now think of y as a combination of 3 variables, y = ax1 + bx2 + cx3. and x3 = mx1 + nx2. so certainly, the order in which you choose your variables is going to effect the coefficients. The reason for this is: the minimum error here can be obtained by various combinations. However, in few examples, the minimum error can be obtained by only one combination and that is where the order will not matter.
Gaurav Singhal
@whuber Can you elaborate on how this equation might be used for a multivariate regression that also has a constant term ? ie y = B1 * x1 + B2 * x2 + c ? It is not clear to me how the constant term can be derived. Also I understand in general what was done for the 2 variables, enough at least to replicate it in Excel. How can that be expanded to 3 variables ? x1, x2, x3. It seems clear that we would need to remove x3 first from y, x1, and x2. then remove x2 from x1 and y. But it is not clear to me how to then get the B3 term.
Fairly Nerdy
I have answered some of my questions I have in the comment above. For a 3 variable regression, we would have 6 steps. Remove x1 from x2, from x3, and from y. Then remove x2,1 from x3,1 and from y1. Then remove x3,21 from y21. That results in 6 equations, each of which is of the form variable = lamda * different variable + residual. One of those equations has a y as the first variable, and if you just keep substituting the other variables in, you get the equation you need
Fairly Nerdy