Kowariancja transformowanych zmiennych losowych

12

Mam dwie zmienne losowe i .X>0Y>0

Biorąc pod uwagę, że mogę oszacować jak mogę oszacować

Cov(X,Y),
Cov(log(X),log(Y))?
użytkownik7064
źródło
3
To poprzednie pytanie dotyczyło korelacji zamiast kowariancji, ale jest powiązane: stats.stackexchange.com/questions/35941/...
Douglas Zare

Odpowiedzi:

16

Można przyjąć podejście ekspansji Taylora:

http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables

Edytować:

Weź U=log(X) , V=log(Y) .

Użyj wielowymiarowego rozszerzenia Taylora, aby obliczyć przybliżenie do (w podobny sposób jak przykład na końcu „First Moment” w łączu, który robi prostszy przypadek i użyj rozszerzeń jednowymiarowych, aby obliczyć przybliżenia do i (jak podano w pierwszej części tej samej sekcji) z podobną dokładnością. Na podstawie tych rzeczy oblicz (przybliżoną) kowariancję.E ( X .1 / Y ) ) E ( U ) E ( V )E(UV)E(X.1/Y))E(U)E(V)

Rozwijając się do podobnego stopnia przybliżenia jak w przykładzie w łączu, myślę, że kończysz się terminami w średniej i wariancji każdej (nietransformowanej) zmiennej oraz ich kowariancji.

Edycja 2:

Ale oto mała sztuczka, która może zaoszczędzić trochę wysiłku:

Zauważ, że i i .X = exp ( U ) Y = exp ( V )E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y)X=exp(U)Y=exp(V)

Biorąc pod uwagę mamy

E[f(X)]f(μX)+f(μX)2σX2
E(exp(U))exp(μU)+exp(μU)2σU2exp(μU+12σU2)

Edycja: Ten ostatni krok wynika z przybliżenia Taylora , co jest dobre dla małego (biorąc ).exp(b)1+bbb=12σU2

(to przybliżenie jest dokładne dla normalnej , : nazwa )UVE(exp(U))=exp(μU+12σU2)

NiechW=U+V

E(XY)=E(exp(U).exp(V))=E(exp(W))

exp(μW)+exp(μW)2σW2exp(μW+12σW2)

i podany , a następnieVar(W)=Var(U)+Var(V)+2Cov(U,V)

(Edytować:)

1+Cov(X,Y)E(X)E(Y)=E(XY)E(X)E(Y)
exp(μW+12σW2)exp(μU+12σU2).exp(μV+12σV2)
exp(μU+μV+12(σU2+σV2+2Cov(U,V)))exp(μU+12σU2).exp(μV+12σV2)
exp[Cov(U,V)]

Stąd . To powinno być dokładne dla dwudzielnego gaussaCov(U,V)log(1+Cov(X,Y)E(X)E(Y))U,V

Jeśli użyjesz pierwszego przybliżenia zamiast drugiego, uzyskasz inne przybliżenie tutaj.

Glen_b - Przywróć Monikę
źródło
Czy mógłbyś podać trochę więcej szczegółów? W każdym razie,
dziękuję
Edytowane dla szczegółów.
Glen_b
Dzięki @Glend_b. Zaakceptuję, kiedy zostaną dodane szczegóły. W międzyczasie +1 :-)
user7064 18.01.13
Bez obaw; Byłem wtedy zajęty, a potem zupełnie zapomniałem. Teraz naprawiono
Glen_b
Zasadniczo działa lepiej dla zmiennych niegaussowskich, jeśli wariancje i są małe (równoważnie, jeśli współczynniki wariancji i są małe). UVXY
Glen_b
8

Bez dodatkowych założeń dotyczących i nie można wywnioskować kowariancji dziennika, znając kowariancję początkową. Z drugiej strony, jeśli byłbyś w stanie obliczyć z i , co uniemożliwia Ci obliczenie z i bezpośrednio?XYCov(X,Y)XYCov(log(X),log(Y))log(X)log(Y)

ThePawn
źródło