Mam dwie zmienne losowe i .
Biorąc pod uwagę, że mogę oszacować jak mogę oszacować
data-transformation
covariance
random-variable
użytkownik7064
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Można przyjąć podejście ekspansji Taylora:
http://en.wikipedia.org/wiki/Taylor_expansions_for_the_moments_of_functions_of_random_variables
Edytować:
WeźU=log(X) , V=log(Y) .
Użyj wielowymiarowego rozszerzenia Taylora, aby obliczyć przybliżenie do (w podobny sposób jak przykład na końcu „First Moment” w łączu, który robi prostszy przypadek i użyj rozszerzeń jednowymiarowych, aby obliczyć przybliżenia do i (jak podano w pierwszej części tej samej sekcji) z podobną dokładnością. Na podstawie tych rzeczy oblicz (przybliżoną) kowariancję.E ( X .1 / Y ) ) E ( U ) E ( V )E(UV) E(X.1/Y)) E(U) E(V)
Rozwijając się do podobnego stopnia przybliżenia jak w przykładzie w łączu, myślę, że kończysz się terminami w średniej i wariancji każdej (nietransformowanej) zmiennej oraz ich kowariancji.
Edycja 2:
Ale oto mała sztuczka, która może zaoszczędzić trochę wysiłku:
Zauważ, że i i .X = exp ( U ) Y = exp ( V )E(XY)=Cov(X,Y)+E(X)E(Y) X=exp(U) Y=exp(V)
Biorąc pod uwagę mamy
Edycja: Ten ostatni krok wynika z przybliżenia Taylora , co jest dobre dla małego (biorąc ).exp(b)≈1+b b b=12σ2U
(to przybliżenie jest dokładne dla normalnej , : nazwa )U V E(exp(U))=exp(μU+12σ2U)
NiechW=U+V
i podany , a następnieVar(W)=Var(U)+Var(V)+2Cov(U,V)
(Edytować:)
Stąd . To powinno być dokładne dla dwudzielnego gaussaCov(U,V)≈log(1+Cov(X,Y)E(X)E(Y)) U,V
Jeśli użyjesz pierwszego przybliżenia zamiast drugiego, uzyskasz inne przybliżenie tutaj.
źródło
Bez dodatkowych założeń dotyczących i nie można wywnioskować kowariancji dziennika, znając kowariancję początkową. Z drugiej strony, jeśli byłbyś w stanie obliczyć z i , co uniemożliwia Ci obliczenie z i bezpośrednio?X Y Cov(X,Y) X Y Cov(log(X),log(Y)) log(X) log(Y)
źródło