Średnia batejskiego mrugnięcia przed

23

Chciałem zadać pytanie inspirowane doskonałą odpowiedzią na pytanie dotyczące intuicji w dystrybucji beta. Chciałem lepiej zrozumieć wyprowadzenie dla wcześniejszego rozkładu dla średniej mrugnięcia. Wygląda na to, że David wycofuje parametry ze średniej i zakresu.

Zakładając, że średnia wynosi 0.27 a odchylenie standardowe wynosi , czy możesz wycofać i , rozwiązując te dwa równania: α β α0.18αβ

αα+β=0.27αβ(α+β)2(α+β+1)=0.182
Dimitriy V. Masterov
źródło
3
Szczerze mówiąc, po prostu kontynuowałem wykresy wartości w R, dopóki nie wyglądało to dobrze.
David Robinson
1
gdzie otrzymujesz standardowe odchylenie wynoszące 0,18?
appleLover,
Jak wymyśliłeś to standardowe odchylenie? Czy wiedziałeś o tym wcześniej?
Maria Ławrowska

Odpowiedzi:

21

Zauważ, że:

αβ(α+β)2=(αα+β)(1αα+β)

Oznacza to, że wariancję można zatem wyrazić jako średnią jako

σ2=μ(1μ)α+β+1

Jeśli chcesz średnią .27 i odchylenie standardowe .18 (wariancji .0324 ), po prostu obliczyć:

α+β=μ(1μ)σ21=.27(1.27).03241=5.083333

Teraz, gdy znasz sumę, α i β są łatwe:

α=μ(α+β)=.275.083333=1.372499β=(1μ)(α+β)=(1.27)5.083333=3.710831

Możesz sprawdzić tę odpowiedź w R:

> mean(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.2700334
> var(rbeta(10000000, 1.372499, 3.710831))
[1] 0.03241907
David Robinson
źródło
αβ
Nie stosuję się szczególnie do sabermetrii - w innej odpowiedzi okazało się, że jest to bardzo wygodny przykład szacowania p z dwumianu z uprzednim. Nie wiem nawet, jak to się dzieje w sabermetrii, a jeśli tak, wiem, że pominąłem wiele elementów (zawodnicy mający różne priorytety, zmiany stadionu, ważące ostatnie trafienia w stosunku do starych ...)
David Robinson,
3
Jestem pod wrażeniem, że twoje oczy były tak dokładne.
Dimitriy V. Masterov,
α=1.37β=3.71
1
@Alex Żądana wariancja i odchylenie standardowe pochodzą z powyższego pytania, które wymagało SD o wartości 0,18, a nie postu dystrybucji beta. Gdybym obliczał zamiast gałki ocznej, mógłbym odgadnąć SD czegoś takiego jak .03, co dałoby wartości 59 i 160.
David Robinson
3

Chciałem dodać to jako komentarz do doskonałej odpowiedzi, ale trwał długo i będzie lepiej wyglądał z formatowaniem odpowiedzi.

(μ,σ2)μ[0,1]σ2

Korzystając z tego samego rozumowania co Dawid, możemy wyrazić

σ2(α,μ)=μ2(1μ)α+μ

ασ2μ

limα0σ2(α,μ)=μ(1μ)

αα>0μ=12

μαβ=1μμα sprowadza się do coraz większej masy pliku PDF zbliżonego do 0 i 1, tj. zbliżenia się do rozkładu Bernoulliego, dlatego supremum wariancji jest dokładnie odpowiadającą wariancją Bernoulliego.

Podsumowując, oto zestaw prawidłowych środków i wariantów dla wersji beta:

enter image description here

(Rzeczywiście jest to odnotowane na stronie Wikipedii dla wersji Beta )

MichaelChirico
źródło