Gęstość robotów wykonujących losowy spacer na nieskończonym losowym wykresie geometrycznym

Rozważmy nieskończony losowy wykres geometryczny, w którym położenia węzłów są zgodne z procesem punktu Poissona o gęstości a krawędzie są umieszczone między węzłami bliższymi niż d . Dlatego długość krawędzi jest zgodna z następującym plikiem PDF:$\rho$$d$

Na powyższym wykresie rozważ węzły wewnątrz okręgu o promieniu wyśrodkowane na początku. Załóżmy, że w czasie t = 0 umieszczamy małego robota wewnątrz każdego z wymienionych węzłów. Oznacza to, że gęstość robotów na płaszczyźnie jest określona przez:$r$$t=0$

gdzielto odległość od początku. Poniższy rysunek pokazuje przykład początkowego umiejscowienia robotów.

Za każdym razem roboty losowo trafiają do jednego z sąsiadów.

$t>0$$t \rightarrow \infty$

Przepraszam chłopaki, nie jestem matematykiem. Daj mi znać, jeśli coś jest niejasne.

Oto początek.

$r = d/2$

$t$$n = 1 + 4t + 2t(t-1)$$t$$A_t$$n \times n$$n$$e_{i,t} \in \{0,1\}^n$$0$$1$$i$$A_t$$i$$t$$e_{1,t}' A_t^t e_{i,t}$$A^t = A \times A \cdots \times A$$A$$t$$\cal L_1$

$t$$r(t+1)$$0$$t$$q$$t$$(x,y)$$t$$f_t(x,y)$$f_t$$r$$X$

$U$$M$$MU + X$

$X$