Jak znaleźć rozkład krańcowy ze wspólnego rozkładu z zależnością wielu zmiennych?

10

Jeden z problemów w moim podręczniku jest następujący. Dwuwymiarowy stochastyczny wektor ciągły ma następującą funkcję gęstości:

fX,Y(x,y)={15xy2if 0 < x < 1 and 0 < y < x0otherwise

Pokaż, że funkcje gęstości brzeżnej fX i fY to:

fX(x)={5x4if 0 < x < 10otherwise

fY(y)={152y2(1y2)if 0 < y < 10otherwise

Rozumiem, w jaki sposób obliczana jest funkcja gęstości , całkując f X , Y od 0 do x względem y . Jestem jednak całkowicie stracił na f Y , gdzie jest ( 1 - y 2 ) pochodzące z? Jeśli zintegruję od 0 do 1 w odniesieniu do x , otrzymam tylko 15fXfX,Y0xyfY(1y2)01x, i dlatego mieści się w zakresie0<y<1?152y20<y<1

Naszkicowałem obsługę , wszystkich wartości, w których f X , Y > 0 są koloru niebieskiego:X,YfX,Y>0

Wsparcie dla $ X, Y $

soren.qvist
źródło
1
Może ci pomóc narysować obraz wsparcia (który jest zbiorem ( x , y ) dla którego f ( x , y ) 0 ). To powinno natychmiast odpowiedzieć na niektóre twoje pytania. (X,Y)(x,y)f(x,y)0
Whuber
@ whuber Okay, więc wyobraziłem sobie wsparcie i myślę, że rozumiem, dlaczego to 0 <y <1, to dlatego, że x jest zdefiniowane tylko w 0 <x <1, a ponieważ 0 <y <x naturalnie mamy wtedy, że y jest tylko zdefiniowane od 0 do 1, prawda? Ale nadal nie rozumiem części (1-y ^ 2).
soren.qvist
3
Wskazówka: Gęstość krańcowa jest całką z f X , Y ( x , y ), która dla stałej wartości y , 0 < y < 1 , jest niezerowa tylko dla tych x spełniających y < x < 1 . To znaczy, f Y ( y ) = - f X , Y ( x ,fY(y)fX,Y(x,y)y0<y<1xy<x<1 istąd pochodzi część ( 1 - y 2 ) .
fY(y)=fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx
(1y2)
Dilip Sarwate
Dzięki za podpowiedź Dilip, obawiam się jednak, że nie rozumiem tego w pełni. „.. dla stałej wartości , 0 < y < 1 , jest niezerowe tylko dla x spełniających y < x < 1y0<y<1xy<x<1 .” Masz na myśli niebieski obszar na mapie?
soren.qvist
1
@ soren.qvist Tak. Mam na myśli niebieski obszar na mapie. jest integralną (obszar pod krzywą) w zależności od x , który ma wartość ( 15 ( 0,4 ) 2 ) x =fY(0.4)x , jeżeli x wynosi(15(0.4)2)x=2.4xx a 1 (niebieski powierzchni) 0 w inny sposób. Powtórz dla innychstałychwartości yi zauważ, że za każdym razem wartość liczbowa f Y ( y )0.410yfY(y)okazuje się być taką samą liczbą, jak uzyskana przez „podłączenie” wybranej wartości do wyrażenia fy jak podano w arkuszu odpowiedzi. Potem pojawia się „Hej, mam wrażenie, że widzę wzór!” moment i zdasz sobie sprawę, że f Y ( y ) równa się pokazanej całce. fY(y)fY(y)
Dilip Sarwate

Odpowiedzi:

8

Jak słusznie wskazałeś w swoim pytaniu, oblicza się, całkując gęstość połączenia, f X , Y ( x , y ) w odniesieniu do X. Kluczową częścią tutaj jest określenie obszaru, na którym całkujesz. Pokazałeś już wyraźnie graficznie obsługę funkcji rozkładu połączeń f X , Y ( x , y ) . Teraz możesz zauważyć, że zakres X w zacienionym obszarze wynosi od X =fY(y)fX,Y(x,y)fX,Y(x,y)X do X = 1X=yX=1Y=XX=1

X=yX=1

fY(y)=y1fX,Y(x,y)dx=y115xy2dx=15y2y1xdx=15y2(12x2|y1)=152y2(1y2).
user3487564
źródło