Warunkowe oczekiwanie wykładniczej zmiennej losowej

13

W przypadku zmiennej losowej ( ) Intuicyjnie czuję, że powinno być równe ponieważ według właściwości bez pamięci rozkład jest taki sam jak ale przesunięty w prawo o .XExp(λ)E[X]=1λE[X|X>x]x+E[X]X|X>xXx

Jednak staram się użyć właściwości bez pamięci, aby dać konkretny dowód. Każda pomoc jest mile widziana.

Dzięki.

mchen
źródło
Wskazówka: to wyrażenie matematyczne odpowiadający "przesunięta w prawo o " itdTeraz dokonaj zmiany zmiennych na całce po prawej stronie. fX|X>a(x)=fX(xa)a
E[XX>a]=xfXX>a(x)dx=xfX(xa)dx.
Dilip Sarwate
2
Zauważ, że jest obciętym rozkładem obciętym poniżej „ ”. W szczególności jest to przesunięty rozkład wykładniczy, a przesunięty wykładniczy nie ma właściwości bez pamięci . X|X>xx
AD

Odpowiedzi:

13

według właściwości bez pamięci rozkład jest taki sam jak ale przesunięty w prawo o .X|X>xXx

Niech oznacza funkcję gęstości prawdopodobieństwa (PDF) . Następnie matematyczne sformułowanie tego, co poprawnie podajesz mianowicie warunkowe pdf biorąc pod uwagę, że jest takie samo jak ale przesunięte w prawo o to . Stąd The wartość oczekiwana z ponieważ jest fX(t)XX { X > x } X x - f X X > x ( t ) = f X ( t - x ) E [ X X > x ] X { X > x } E [ X X > x ]X{X>x}Xx fXX>x(t)=fX(tx)E[XX>x]X{X>x}

E[XX>x]=tfXX>x(t)dt=tfX(tx)dt=(x+u)fX(u)duon substituting u=tx=x+E[X].
Zauważ, że nie użyliśmy jawnie gęstości w obliczeniach i nawet nie musimy jawnie integrować, jeśli po prostu pamiętamy, że (i) obszar pod pdf to i (ii) definicja oczekiwanej wartości ciągłej zmiennej losowej pod względem jej pdf.X11

Dilip Sarwate
źródło
9

Dla zdarzenie ma prawdopodobieństwo . Zatem ale (przy użyciu sztuczki Feynmana, potwierdzonej przez Dominowane Twierdzenie o konwergencji, ponieważ jest zabawne) x>0{X>x}P{X>x}=1FX(x)=eλx>0

E[XX>x]=E[XI{X>x}]P{X>x},
E[XI{X>x}]=xtλeλtdt=()
()=λxddλ(eλt)dt=λddλxeλtdt
=λddλ(1λxλeλtdt)=λddλ(1λ(1FX(x)))
=λddλ(eλxλ)=(1λ+x)eλx,
co daje pożądany wynik
E[XX>x]=1λ+x=E[X]+x.
Zen
źródło
2
Chociaż użycie sztuczki Feynmana jest interesujące, dlaczego nie po prostu zintegrować przez części, aby uzyskać
xtλeλtdt=teλt|x+xeλtdt=(x+1λ)eλx?
Dilip Sarwate