W przypadku zmiennej losowej ( ) Intuicyjnie czuję, że powinno być równe ponieważ według właściwości bez pamięci rozkład jest taki sam jak ale przesunięty w prawo o .
Jednak staram się użyć właściwości bez pamięci, aby dać konkretny dowód. Każda pomoc jest mile widziana.
Dzięki.
Odpowiedzi:
Niech oznacza funkcję gęstości prawdopodobieństwa (PDF) . Następnie matematyczne sformułowanie tego, co poprawnie podajesz mianowicie warunkowe pdf biorąc pod uwagę, że jest takie samo jak ale przesunięte w prawo o to . Stąd The wartość oczekiwana z ponieważ jestfX(t) X − X { X > x } X x - f X ∣ X > x ( t ) = f X ( t - x ) E [ X ∣ X > x ] X { X > x } E [ X ∣ X > x ]X {X>x} X x − fX∣X>x(t)=fX(t−x) E[X∣X>x] X {X>x} E[X∣X>x]=∫∞−∞tfX∣X>x(t)dt=∫∞−∞tfX(t−x)dt=∫∞−∞(x+u)fX(u)du=x+E[X].on substituting u=t−x
Zauważ, że nie użyliśmy jawnie gęstości w obliczeniach i nawet nie musimy jawnie integrować, jeśli po prostu pamiętamy, że (i) obszar pod pdf to i (ii) definicja oczekiwanej wartości ciągłej zmiennej losowej pod względem jej pdf.X 11
źródło
Dla zdarzenie ma prawdopodobieństwo . Zatem ale (przy użyciu sztuczki Feynmana, potwierdzonej przez Dominowane Twierdzenie o konwergencji, ponieważ jest zabawne)x>0 {X>x} P{X>x}=1−FX(x)=e−λx>0
źródło