Jak mogę udowodnić, że iloczyn punktowy dwóch funkcji jądra jest funkcją jądra?
źródło
Jak mogę udowodnić, że iloczyn punktowy dwóch funkcji jądra jest funkcją jądra?
Przez produkt punktowy zakładam, że masz na myśli, że jeśli są poprawnymi funkcjami jądra, to ich produkt
jest również poprawną funkcją jądra.
Udowodnienie tej właściwości jest dość proste, gdy odwołujemy się do twierdzenia Mercer'a. Ponieważ są prawidłowymi jądrami, wiemy (za pośrednictwem Mercer), że muszą zaakceptować wewnętrzną reprezentację produktu. Niech oznaczymy wektor cechą i mają takie samo znaczenie dla . a k 1 b k 2
Więc jest funkcją, która wytwarza wektor dim, a tworzy wektor dim.M b N
Następnie, po prostu napisać produkt pod względem i , i wykonać pewne przegrupowania.b
gdzie jest wektorem wymiarowym , st .M ⋅ N c m n ( z ) = a m ( z ) b n ( z )
Teraz, ponieważ możemy napisać jako produkt wewnętrzny za pomocą mapy cech , wiemy, że jest prawidłowym jądrem (poprzez twierdzenie Mercer'a). To wszystko.c k p
Co powiesz na następujący dowód:
Źródło: Wykład metod jądra UChicago , strona 5
źródło
Załóżmy, że i są macierzą jądra tych dwóch odpowiednio jądra i i są one PSD. Definiujemy i chcemy udowodnić, że jest to również jądro. Jest to równoważne z potwierdzeniem, że odpowiadająca jej macierz jądra to PSD.K.1 K.2) k1( x , y) k2)( x , y) k ( x , y) = k1( x , y) k2)( x , y) K.= K.1 ∘ K.2)
źródło