Dowód bliskości funkcji jądra w produkcie punktowym

13

Jak mogę udowodnić, że iloczyn punktowy dwóch funkcji jądra jest funkcją jądra?

Gigili
źródło

Odpowiedzi:

18

Przez produkt punktowy zakładam, że masz na myśli, że jeśli są poprawnymi funkcjami jądra, to ich produktk1(x,y),k2(x,y)

kp(x,y)=k1(x,y)k2(x,y)

jest również poprawną funkcją jądra.

Udowodnienie tej właściwości jest dość proste, gdy odwołujemy się do twierdzenia Mercer'a. Ponieważ są prawidłowymi jądrami, wiemy (za pośrednictwem Mercer), że muszą zaakceptować wewnętrzną reprezentację produktu. Niech oznaczymy wektor cechą i mają takie samo znaczenie dla . a k 1 b k 2k1,k2ak1bk2

k1(x,y)=a(x)Ta(y),a(z)=[a1(z),a2(z),aM(z)]k2(x,y)=b(x)Tb(y),b(z)=[b1(z),b2(z),bN(z)]

Więc jest funkcją, która wytwarza wektor dim, a tworzy wektor dim.M b NaMbN

Następnie, po prostu napisać produkt pod względem i , i wykonać pewne przegrupowania.bab

kp(x,y)=k1(x,y)k2(x,y)=(m=1Mam(x)am(y))(n=1Nbn(x)bn(y))=m=1Mn=1N[am(x)bn(x)][am(y)bn(y)]=m=1Mn=1Ncmn(x)cmn(y)=c(x)Tc(y)

gdzie jest wektorem wymiarowym , st .M N c m n ( z ) = a m ( z ) b n ( z )c(z)MNcmn(z)=am(z)bn(z)

Teraz, ponieważ możemy napisać jako produkt wewnętrzny za pomocą mapy cech , wiemy, że jest prawidłowym jądrem (poprzez twierdzenie Mercer'a). To wszystko.c k pkp(x,y)ckp

Mike Hughes
źródło
Skąd wiesz, że cecha przestrzeni Hilberta jest skończona? Czy to nie może być nawet nierozdzielne?
Andrei Kh
Zgodnie z twoim pierwszym akapitem wiemy tylko, że jądro istnienie wewnętrznej reprezentacji produktu. Ale w podsumowaniu wnioskujesz, że istnienie wewnętrznej reprezentacji produktu oznacza, że jest jądrem. Dlaczego to jest ważne? kkp
Viktor Glombik,
0

Załóżmy, że i są macierzą jądra tych dwóch odpowiednio jądra i i są one PSD. Definiujemy i chcemy udowodnić, że jest to również jądro. Jest to równoważne z potwierdzeniem, że odpowiadająca jej macierz jądra to PSD.K.1K.2)k1(x,y)k2)(x,y)k(x,y)=k1(x,y)k2)(x,y)K.=K.1K.2)

  1. K.3)=K.1K.2) to PSD (produktem kroneckera dwóch PSD jest PSD).
  2. K. jest podstawową submatrix , a zatem PSD (podstawową submatrix PSD jest PSD).K.3)
Ceyao Zhang
źródło