Jeśli mecz tenisa byłby pojedynczym dużym setem, ile gier dałoby taką samą dokładność?

12

Tenis ma osobny trzypoziomowy system punktacji i zastanawiam się, czy ma to jakąkolwiek statystyczną korzyść z punktu widzenia meczu jako eksperymentu mającego na celu ustalenie lepszego gracza.

Dla tych, którzy nie są zaznajomieni, w normalnych zasadach gra jest wygrywana od pierwszych do 4 punktów, o ile masz 2-punktową przewagę (tzn. Jeśli wygrywasz 4-2, ale 4-3 potrzebujesz 1 dodatkowego punktu i zachowaj (dopóki jeden gracz nie przejdzie o 2).

Zestaw jest wtedy zbiorem gier, a zestaw wygrywa od pierwszego do 6, ponownie wygrywając o 2, z tym wyjątkiem, że zamiast kontynuowania rozgrywana jest specjalna gra rozstrzygająca (z wyjątkiem końcowego zestawu Wimbledon itp.) ..)

Mecz wygrywa od pierwszego do 2 lub 3 setów, w zależności od konkurencji.

Teraz tenis jest również dziwny, ponieważ gry są niesprawiedliwe. W danym momencie serwer ma ogromną przewagę, dlatego każda gra, którą serwer naprzemiennie.

W grze rozstrzygającej remis serw zmienia się po każdym punkcie i jest to pierwszy do 7 punktów, znowu z 2 punktową przewagą.

Załóżmy, że gracz A ma prawdopodobieństwo wygranej punkt na ich służyć od ps i przy odbiorze pr .

Pytanie brzmi: załóżmy, że my

A) właśnie grałem w tenisa jako wielki mecz „najlepszych z N gier”, ile gier dałoby taką samą dokładność jak normalny najlepszy z 5 setów tenisa

B) po prostu grałem w tenisa jako mecz rozstrzygający, ile punktów dałoby taką samą dokładność jak normalny najlepszy z 5 setów tenisa?

Oczywiście te odpowiedzi będą zależeć od i samymi organizacjami wartości, więc to też być dobrze wiedziećpspr

C) Jaka jest oczekiwana liczba gier i punktów rozegranych w normalnym tenisie, przy założeniu stałej ,p rpspr


Definiowanie „dokładności”

Jeśli założymy, że umiejętności obu graczy pozostają niezmienne, to jeśli graliby przez nieskończony czas, to jeden lub drugi gracz wygrałby prawie na pewno, niezależnie od formatu gry. Ten gracz jest „poprawnym” zwycięzcą. Jestem prawie pewien, że właściwym zwycięzcą jest gracz, dla którego .pr+ps>1

Lepszym formatem gry jest taki, który częściej wytwarza poprawnego zwycięzcę dla tej samej liczby rozegranych punktów lub odwrotnie - poprawnego zwycięzcę z jednakowym prawdopodobieństwem w kilku rozegranych punktach.

Corone
źródło
2
Tylko 5. set nie ma remisu w Wimbledon, Australian Open i French Open. Pierwsze 4 sety rozgrywane są za pomocą remisów.
mpiktas
Co dokładnie rozumiesz przez „dokładność”? Czy masz na myśli coś takiego: „jak często wygrywa lepszy gracz?” W każdym razie potrzebujesz czterech parametrów, a nie dwóch; trzeba i p r dla każdego gracza, chociaż p 1 y = 1 - P 2 R i vice versa. Jeśli jakiś gracz klubowy gra zawodnikiem światowej klasy, być może p 1 s = 0,01 , p 1 r = 0,001 . Myślę, że najłatwiejszym sposobem, aby to ustalić, jest metoda wymagająca dużego nakładu pracy komputera. Można to wyliczyć analitycznie, ale obliczenia staną się intensywne.psprp1s=1-p2)rp1s=.01p1r=.001
Peter Flom - Przywróć Monikę
Myślałem, że można pominąć związek między a umiejętnościami gracza, ponieważ chcemy tylko porównania metod pomiaru. Tj. Dla każdego dopasowania, jeśli p s + p r > 1, to gracz 1 powinien wygrać (tzn. Ich średnia zdolność do zdobywania punktów przekracza 50%). Lepszy turniej osiąga to częściej. ps/rps+pr>1
Corone
Przez „taką samą dokładnością” masz na myśli, że całkowite prawdopodobieństwo wygranej danego gracza jest taka sama w każdym formacie (na stałe i p r ?pspr
Michael McGowan

Odpowiedzi:

12

Jeśli grasz w gry do punktów, w których musisz wygrać o 2 , możesz założyć, że gracze rozegrają 6 punktów. Jeśli żaden gracz nie wygra o 2 , wynik jest remisowany 3 - 3 , a następnie grasz parami punktów, aż jeden gracz wygra oba. Oznacza to, że szansa na wygranie gry do 4 punktów, gdy szansa na wygranie każdego punktu wynosi p , wynosi422334p

.

p6+6p5(1p)+15p4(1p)2+20p3(1p)3p2p2+(1p)2

W grze męskiej najwyższego poziomu może wynosić około 0,65 dla serwera. (Byłoby 0,66, gdyby mężczyźni nie odpoczęli przy drugim serwowaniu.) Według tej formuły szansa na utrzymanie serwów wynosi około 82,96 % .p0.650,6682,96%

Załóżmy, że grasz remis do punktów. Możesz założyć, że punkty są rozgrywane parami, w których każdy gracz obsługuje jedną z każdej pary. Kto służy pierwszy, nie ma znaczenia. Możesz założyć, że gracze rozegrają 12 punktów. Jeśli są remisowane w tym momencie, grają parą, dopóki jeden gracz nie wygra obu par, co oznacza, że ​​warunkowa szansa na wygraną to p s p r / ( p s p r + ( 1 - p s ) ( 1 - p r ) ) . Jeśli obliczę poprawnie, szansa na wygranie remisu wynosi 7712pspr/(pspr+(1-ps)(1-pr))7 punkty to

6pr6ps+90pr5ps2105pr6ps2+300pr4ps3840pr5ps3+560pr6ps3+300pr3ps41575pr4ps4+2520pr5ps41260pr6ps4+90pr2ps5840pr3ps5+2520pr4ps53024pr5ps5+1260pr6ps5+6prps6105pr2ps6+560pr3ps61260pr4ps6+1260pr5ps6462pr6ps6+prpsprps+(1pr)(1ps)(pr6+36pr5ps42pr6ps+225pr4ps2630pr5ps2+420pr6ps2+400pr3ps32100pr4ps3+3360pr5ps31680pr6ps3+225pr2ps42100pr3ps4+6300pr4ps47560pr5ps4+3150pr6ps4+36prps5630pr2ps5+3360pr3ps57560pr4ps5+7560pr5ps52772pr6ps5+ps642prps6+420pr2ps61680pr3ps6+3150pr4ps62772pr5ps6+924pr6ps6)

Jeśli szansa na wygraną w rozstrzygnięciu wynosi około 51,67 % .ps=0,65,pr=0,3651,67%

Następnie rozważ zestaw. Nie ma znaczenia, kto będzie serwował jako pierwszy, co jest wygodne, ponieważ w przeciwnym razie musielibyśmy rozważyć wygranie seta, mając za sobą serw, a następnie wygranie seta bez zachowania serwowania. Aby wygrać zestaw do gier, możesz sobie wyobrazić, że najpierw rozegranych zostanie 10 gier. Jeśli wynik jest remisowy 5 - 5, zagraj jeszcze w 2 gry. Jeśli to nie determinuje zwycięzcy, zagraj w remis, lub w piątym secie po prostu powtórz grając w pary gier. Niech p h będzie prawdopodobieństwem trzymania serw i niech p b6105-52)phpbprawdopodobieństwo złamania serwowania przeciwnika, które można obliczyć powyżej na podstawie prawdopodobieństwa wygrania meczu. Szansę wygrać zestaw bez Tiebreak podąża tą samą podstawową formułę jako szansę wygrać tie-breaker, oprócz tego, że gramy do gier zamiast do 7 punktów, a my zastąpić p y przez p h i p r o p b .67psphprpb

Warunkowa szansa na wygraną piątego seta (seta bez remisu) przy i p r = 0,36 wynosi 53,59 % .ps=0,65pr=0,3653,59%

Szansa na wygranie seta z rozstrzygającym remisiem przy i p r = 0,36 wynosi 53,30 % .ps=0,65pr=0,3653,30%

Szansa na wygranie meczu z setami bez rozstrzygnięcia w piątym secie, przy p s = 0,65 i p r = 0,36 wynosi 56,28 % .5ps=0,65pr=0,3656,28%

Tak więc, dla tych wskaźników wygranych, ile gier musiałoby być w jednym zestawie, aby miał taką samą moc dyskryminującą? Przy , wygrywasz zestaw do 24 gier ze zwykłym tie- breakerem 56,22 % , i wygrywasz zestaw do 25 gier z tie- breakerem możliwym 56,34 % czasu. Bez rozstrzygnięcia szansa na wygraną w normalnym meczu to sety o długości 23 i 24 . Jeśli po prostu zagrasz w jednego dużego tie-breakera, szansa na wygranie tie-breakera o długości 113 wynosi 56,27 %ps=0,65,pr=0,362456,22%2556,34%232411356,27%i o długości wynosi 56,29 % .11456,29%

Sugeruje to, że zagranie jednego olbrzymiego zestawu nie jest bardziej wydajne niż najlepszy z 5 meczów, ale zagranie jednego olbrzymiego tie-breaka byłoby bardziej wydajne, przynajmniej dla ściśle dopasowanych zawodników, którzy mają przewagę.


Oto fragment mojej kolumny GammonVillage z marca 2013 r. „Gra, set i mecz”. Rozważyłem rzut monetą ze stałą przewagą ( ) i zapytałem, czy bardziej efektywnie jest rozegrać jeden duży mecz lub serię krótszych meczów:51%

... Jeśli najlepszy z trzech jest mniej wydajny niż pojedynczy długi mecz, możemy oczekiwać, że najlepszy z pięciu będzie gorszy. Wygrywasz najlepszy z pięciu meczów punktowych z prawdopodobieństwem 57,51 % , bardzo blisko szansy na wygraną w pojedynczym meczu do 45 . Średnia liczba meczów w pięciu przypadkach wynosi 4.115 , więc średnia liczba gier wynosi 4.115 × 21,96 = 90,37 . Oczywiście jest to więcej niż maksymalna możliwa liczba gier w meczu do 45 , a średnia to 82,35 . Wygląda na to, że dłuższa seria meczów jest jeszcze mniej wydajna.1357,51%454.1154.115×21,96=90,374582,35

Co powiesz na kolejny poziom, najlepszy z trzech serii najlepszych z trzech meczów do ? Ponieważ każda seria byłaby jak mecz z 29 , ta seria serii byłaby jak najlepszy z trzech meczów do 29 , tylko mniej wydajna, a jedno długie dopasowanie byłoby lepsze. Tak więc jeden długi mecz byłby bardziej wydajny niż seria serii.132929

Co sprawia, że ​​seria meczów jest mniej wydajna niż jedna długa? Rozważ je jako testy statystyczne do zbierania dowodów, aby zdecydować, który gracz jest silniejszy. W najlepszym z trzech meczów możesz przegrać serię z wynikiem . Oznacza to, że wygrałbyś 36 gier do 33 przeciwnika , ale Twój przeciwnik wygrałby serię. Jeśli rzucisz monetą i zdobędziesz 36 głów i 3313-7  12-13  11-1336333633ogony, masz dowody, że głowy są bardziej prawdopodobne niż ogony, nie że ogony są bardziej prawdopodobne niż głowy. Tak więc najlepsze z trzech dopasowań jest nieefektywne, ponieważ marnuje informacje. Seria meczów wymaga średnio więcej danych, ponieważ czasami zapewnia zwycięstwo graczowi, który wygrał mniej gier.

Douglas Zare
źródło
Absolutnie niewiarygodne! Czy istnieje odznaka dla największej jak dotąd ekspresji lateksowej? Nie rozumiem jednak wniosku - na pewno 25 gier to mniej niż zwykle się gra? Jeśli dojdzie do piątego seta, grasz w co najmniej 30 gier, a nawet wygrana 6: 4 6: 4 6: 4 to 30 gier?
Corone
1
Zestaw gier oznacza, że ​​możesz wygrać wynikiem 25 - 20, czyli 45 gier. 2525-2045
Douglas Zare
Ach tak, przepraszam, ma sens. Świetna odpowiedź.
Corone
Na-ah, który dba o długi L.ZAT.miX
1
W tym artykule przeanalizowano niektóre elementy rozstrzygające i czy preferują silniejsze serwery: heavytopspin.com/2012/10/30/the-structural-biases-of-tiebreaks
Douglas Zare