Centralne twierdzenie graniczne i prawo wielkich liczb

18

Mam pytanie od bardzo początkującego dotyczące centralnego twierdzenia granicznego (CLT):

Wiem, że CLT stwierdza, że ​​średnia iid zmiennych losowych ma w przybliżeniu rozkład normalny (dla , gdzie n jest indeksem sum) lub że znormalizowana zmienna losowa miałaby standardowy rozkład normalny.nn

Teraz prawo dużej liczby mówi z grubsza, że ​​średnia iid zmiennych losowych zbiega się (w prawdopodobieństwie lub prawie na pewno) z ich oczekiwaną wartością.

Nie rozumiem jednak: jeśli, jak stwierdza CLT, średnia jest w przybliżeniu normalnie dystrybuowana, to w jaki sposób może ona jednocześnie zbiegać się z oczekiwaną wartością?

Konwergencja oznaczałaby dla mnie, że z czasem prawdopodobieństwo, że średnia przyjmuje wartość, która nie jest wartością oczekiwaną, wynosi prawie zero, stąd rozkład nie byłby tak naprawdę normalny, ale prawie zerowy wszędzie, z wyjątkiem wartości oczekiwanej.

Wszelkie wyjaśnienia są mile widziane.

Pegah
źródło
Klucz do odpowiedzi leży w tym, gdzie w twoim pytaniu pojawia się słowo „standaryzowany”.
whuber
Przepraszam, ale nie jestem pewien, czy rozumiem.
Pegah
7
Wskazówka: jedno twierdzenie dotyczy około który ma wariancjęσ2, drugi około11njaXjaσ2)który ma wariancjęσ21njaXja . σ2)n
Dilip Sarwate
13
Twierdzenie o granicy centralnej dotyczy podróży, a silne prawo wielkich liczb dotyczy celu podróży.
kardynał

Odpowiedzi:

23

Ta rycina pokazuje rozkłady średnich (niebieski), 10 (czerwony) i 100 (złoty) niezależnych i identycznie rozmieszczonych ( iid ) rozkładów normalnych (wariancji jednostkowej i średniej μ ):n=110100μ

Trzy nakładające się pliki PDF

nμ(za,b)μ[za,b]n1

0μ

nn

Whuber
źródło
@ Whuber całkiem dobra odpowiedź, docenię wyjaśnienie tego, co rozumiemy przez Słabe Prawo Dużej Liczby.
Subhash C. Davar,