Centralne twierdzenie graniczne i prawo wielkich liczb

Mam pytanie od bardzo początkującego dotyczące centralnego twierdzenia granicznego (CLT):

Wiem, że CLT stwierdza, że ​​średnia iid zmiennych losowych ma w przybliżeniu rozkład normalny (dla , gdzie n jest indeksem sum) lub że znormalizowana zmienna losowa miałaby standardowy rozkład normalny.$n \to \infty$$n$

Teraz prawo dużej liczby mówi z grubsza, że ​​średnia iid zmiennych losowych zbiega się (w prawdopodobieństwie lub prawie na pewno) z ich oczekiwaną wartością.

Nie rozumiem jednak: jeśli, jak stwierdza CLT, średnia jest w przybliżeniu normalnie dystrybuowana, to w jaki sposób może ona jednocześnie zbiegać się z oczekiwaną wartością?

Konwergencja oznaczałaby dla mnie, że z czasem prawdopodobieństwo, że średnia przyjmuje wartość, która nie jest wartością oczekiwaną, wynosi prawie zero, stąd rozkład nie byłby tak naprawdę normalny, ale prawie zerowy wszędzie, z wyjątkiem wartości oczekiwanej.

Wszelkie wyjaśnienia są mile widziane.

Ta rycina pokazuje rozkłady średnich (niebieski), 10 (czerwony) i 100 (złoty) niezależnych i identycznie rozmieszczonych ( iid ) rozkładów normalnych (wariancji jednostkowej i średniej μ ):$n=1$$10$$100$$\mu$

$n$$\mu$$(a,b)$$\mu$$[a,b]$$n$$1$

$0$$\mu$

$n$$n$