Jak znaleźć wariancję między punktami wielowymiarowymi?

Załóżmy, że mam macierz X, która jest n przez p, tj. Ma n obserwacji, z każdą obserwacją w przestrzeni p-wymiarowej.

Jak znaleźć wariancję tych n obserwacji?

W przypadku, gdy p = 1, muszę po prostu użyć formuły regularnej wariancji. Co z przypadkami, w których p> 1.

$p$$X = {\left( {{X_1}, \ldots ,{X_p}} \right)^\intercal}$

$$Var\left( X \right) = E\left[ {\left( {X - EX} \right){{\left( {X - EX} \right)}^\intercal}} \right] = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {Var\left( {{X_1}} \right)}& \ldots &{Cov\left( {{X_1},{X_p}} \right)} \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {Cov\left( {{X_p},{X_1}} \right)}& \ldots &{Var\left( {{X_p}} \right)} \end{array}} \right)$$

Oznacza to, że wariancja losowego wektora jest definiowana jako macierz, która przechowuje wszystkie wariancje na głównej przekątnej i kowariancje między różnymi składnikami w innych elementach. Próbka macierzy kowariancji zostałaby następnie obliczona przez podłączenie analogów próbki dla zmiennych populacji:$p \times p$

$$\frac{1}{{n - 1}}\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)}^2}} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot1}}} \right)\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)} } \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ {\sum\limits_{i = 1}^n {\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)\left( {{X_{i1}} - {{\bar X}_{\cdot 1}}} \right)} }& \ldots &{\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{X_{ip}} - {{\bar X}_{\cdot p}}} \right)}^2}} } \end{array}} \right)$$ gdzie oznacza obserwację dla funkcji a średnia próbka${X_{ij}}$$i$$j$${{\bar X}_{ \cdot j}}$$j$th funkcja. Podsumowując, wariancja wektora losowego jest definiowana jako macierz zawierająca poszczególne wariancje i kowariancje. Wystarczy zatem obliczyć wariancje i kowariancje próbki dla wszystkich składników wektora indywidualnie.