Korzystając z wikipedii znalazłem sposób na obliczenie funkcji masy prawdopodobieństwa wynikającej z sumy dwóch zmiennych losowych Poissona. Myślę jednak, że moje podejście jest błędne.
Niech będą dwiema niezależnymi losowymi zmiennymi Poissona ze średnimi i , gdzie i są stałymi, to funkcję generującą prawdopodobieństwo podaje Teraz, korzystając z faktu, że funkcją generującą prawdopodobieństwo dla losowej zmiennej Poissona jest , możemy napisać funkcję generującą prawdopodobieństwo suma dwóch niezależnych zmiennych losowych Poissona jako
Czy to jest poprawne? Mam wrażenie, że nie mogę po prostu pobrać pochodnej w celu uzyskania funkcji masy prawdopodobieństwa, ze względu na stałe i . Czy to jest poprawne? Czy istnieje alternatywne podejście?
Jeśli jest to poprawne, czy mogę teraz uzyskać przybliżenie rozkładu skumulowanego poprzez obcięcie nieskończonej sumy dla całego k?
Odpowiedzi:
Pod warunkiem, że nie jest zbyt duże prawdopodobieństwo koncentracji na jakiejkolwiek pojedynczej wartości w tej liniowej kombinacji, wygląda na to, że rozszerzenie Cornisha-Fishera może zapewnić dobre przybliżenie (odwrotnego) CDF.
Przypomnij sobie, że to rozszerzenie dostosowuje odwrotny CDF standardowego rozkładu normalnego przy użyciu pierwszych kilku kumulantów . Jego skośność jestβ 1S2 β1
a jego toβ2
Aby znaleźć percentyl standardowej wersji , obliczα S2
gdzie jest percentylem standardowego rozkładu normalnego. Tym samym percentyl wynosiz α S2
Eksperymenty numeryczne sugerują, że jest to dobre przybliżenie, gdy zarówno i przekroczą około . Rozważmy na przykład przypadek i (ustawione dla wygody dla uzyskania zerowej średniej):λ1 λ2 5 λ1=5, λ2=5π/2, a1=π, a2=−2
Część zacieniowana na niebiesko to CDF obliczony numerycznie, natomiast pod spodem jednolita czerwień to przybliżenie Cornisha-Fishera. Przybliżenie jest zasadniczo płynne z faktycznego rozkładu, pokazując tylko małe systematyczne odjazdy.S2
źródło
Użyj splotu:
Niech Dla , przeciwnym razie i Dla , przeciwnym razie.fX1(x1)=λx1e−λx1! x1≥0 fX1(x1)=0 fX2(x2)=λx2e−λx2! x2≥0 fX2(x2)=0
Niech , więc Ten pierwszy jest znany jako splot.Z=X1+X2→X1=Z−X2
Jeśli i są niezależne, ten sposób można uzyskać rozkład sumy dwóch ciągłych zmiennych losowych.X1 X2
Dla dyskretnego rozkładu Który jest również rozkładem Poissona z parametrem
źródło
Myślę, że rozwiązaniem jest koncepcja złożonego rozkładu Poissona. Idea jest losowa suma z Poissona rozmieszczone i i sekwencją niezależną od . Kiedy ograniczymy się do przypadku, w którym zawsze, wówczas możemy opisać dla liczby rzeczywistej i rozkładu Poissona . Otrzymujesz pgf przez Za sumę otrzymujesz definiować
Po udowodnieniu, że rozkłady są złożone Poissona, możemy użyć rekurencji Panjera w przypadku, gdy i są dodatnimi liczbami całkowitymi. Lub możemy łatwo wyprowadzić transformatę Fouriera z postaci pgf i uzyskać rozkład z powrotem przez odwrotność. Zauważ, że masa punktowa wynosi .k1 k2 0
Edytuj po dyskusji:
Myślę, że najlepsze, co możesz zrobić, to MC. Możesz użyć pochodnej, że jest to złożony dystans Poissona.
Będziesz miał próbkę powiedzmy 100 000 w kilka sekund.
Alternatywnie możesz osobno próbkować dwa lata w początkowej reprezentacji ... to będzie tak szybkie.
Wszystko inne (FFT) jest skomplikowane, jeśli stały współczynnik k1 i k2 są całkowicie ogólne.
źródło