Czy mogę przekonwertować macierz kowariancji na niepewności dla zmiennych?

Mam urządzenie GPS, które wyprowadza pomiar hałasu za pomocą macierzy kowariancji :$\Sigma$

$\Sigma = \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right]$

(tam też zaangażowany ale zignorujmy że na sekundę).$t$

Załóżmy, że chcę powiedzieć komuś innemu, że dokładność w każdym kierunku ( ) to pewna liczba. . To znaczy, mój GPS może dać mi odczyt x = \ bar {x} \ pm \ mu_x , itp. Rozumiem, że \ mu w tym przypadku oznacza, że ​​wszystkie wielkości mierzone są od siebie niezależne (tj. Kowariancja matryca jest ukośna). Co więcej, znalezienie błędu wektora jest tak proste, jak dodanie błędów w kwadraturze (pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów).μ x , μ Y , μ z x = ˉ x ± μ x$x,y,z$$\mu_x, \mu_y, \mu_z$$x=\bar{x}\pm\mu_x$$\mu$

Co się stanie, jeśli moja macierz kowariancji nie będzie przekątna? Czy istnieje prosta liczba $\mu_x^*$ która obejmuje efekty kierunków $y$ i $z$ ? Jak mogę to znaleźć, biorąc pod uwagę macierz kowariancji?

Nie ma jednej liczby obejmującej wszystkie informacje o kowariancji - jest 6 informacji, więc zawsze potrzebujesz 6 liczb.

Istnieje jednak wiele rzeczy, które możesz rozważyć.

Po pierwsze, błąd (wariancja) w dowolnym określonym kierunku jest podawany przez$i$

$\sigma_i^2 = \mathbf{e}_i ^ \top \Sigma \mathbf{e}_i$

Gdzie jest wektorem jednostkowym w kierunku zainteresowania.$\mathbf{e}_i$

Teraz, jeśli spojrzysz na to dla swoich trzech podstawowych współrzędnych , zobaczysz, że:$(x,y,z)$

$\sigma_x^2 = \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right]^\top \left[\begin{matrix} \sigma_{xx} & \sigma_{xy} & \sigma_{xz} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} & \sigma_{yz} \\ \sigma_{xz} & \sigma_{yz} & \sigma_{zz} \end{matrix}\right] \left[\begin{matrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}\right] = \sigma_{xx}$

$\sigma_y^2 = \sigma_{yy}$

$\sigma_z^2 = \sigma_{zz}$

Zatem błąd w każdym z kierunków rozpatrywanych osobno wynika z przekątnej macierzy kowariancji. Ma to intuicyjny sens - jeśli rozważam tylko jeden kierunek, zmiana samej korelacji nie powinna mieć znaczenia.

Masz rację, zauważając, że po prostu stwierdzasz:

$x = \mu_x \pm \sigma_x$

$y = \mu_x \pm \sigma_y$

$z = \mu_z \pm \sigma_z$

Nie oznacza to żadnej korelacji między tymi trzema stwierdzeniami - każde zdanie samo w sobie jest całkowicie poprawne, ale wzięte razem niektóre informacje (korelacje) zostały usunięte.

Jeśli będziesz wykonywać wiele pomiarów, każdy z tą samą korelacją błędów (zakładając, że pochodzi to od sprzętu pomiarowego), wówczas jedną z eleganckich możliwości jest obrócenie współrzędnych w celu przekątnej macierzy kowariancji. Następnie możesz przedstawić błędy w każdym z tych kierunków osobno, ponieważ będą one teraz nieskorelowane.

Jeśli chodzi o przyjęcie „błędu wektorowego” przez dodanie kwadratury, nie jestem pewien, czy rozumiem, co mówisz. Te trzy błędy są błędami w różnych ilościach - nie znoszą się nawzajem, więc nie widzę, jak je dodać. Masz na myśli błąd na odległość?