Czy mogę przekonwertować macierz kowariancji na niepewności dla zmiennych?

16

Mam urządzenie GPS, które wyprowadza pomiar hałasu za pomocą macierzy kowariancji :Σ

Σ=[σxxσxyσxzσyxσyyσyzσxzσyzσzz]

(tam też zaangażowany ale zignorujmy że na sekundę).t

Załóżmy, że chcę powiedzieć komuś innemu, że dokładność w każdym kierunku ( ) to pewna liczba. . To znaczy, mój GPS może dać mi odczyt x = \ bar {x} \ pm \ mu_x , itp. Rozumiem, że \ mu w tym przypadku oznacza, że ​​wszystkie wielkości mierzone są od siebie niezależne (tj. Kowariancja matryca jest ukośna). Co więcej, znalezienie błędu wektora jest tak proste, jak dodanie błędów w kwadraturze (pierwiastek kwadratowy z sumy kwadratów).μ x , μ Y , μ z x = ˉ x ± μ x μx,y,zμx,μy,μzx=x¯±μxμ

Co się stanie, jeśli moja macierz kowariancji nie będzie przekątna? Czy istnieje prosta liczba μx która obejmuje efekty kierunków y i z ? Jak mogę to znaleźć, biorąc pod uwagę macierz kowariancji?

Dang Khoa
źródło
Co masz na myśli przez znalezienie błędu wektora poprzez dodanie błędów w kwadraturze? Każdy z twoich wskazówek to błąd innej wielkości - dodawanie błędów w kwadraturze ma miejsce, gdy łączysz wiele źródeł błędów na jednej wielkości. Jak myślisz, co oznacza błąd wektorowy?
Corone,
Na marginesie - w wielu regresjach ludzie często stwierdzają błąd standardowy współczynników regresji, ale w rzeczywistości szacunki dla różnych współczynników są skorelowane. Możliwe jest wytworzenie 95% elipsoid ufności, które reprezentują niepewność w wielu wymiarach - bardzo podobnie do rozważanej sytuacji.
Silverfish,

Odpowiedzi:

15

Nie ma jednej liczby obejmującej wszystkie informacje o kowariancji - jest 6 informacji, więc zawsze potrzebujesz 6 liczb.

Istnieje jednak wiele rzeczy, które możesz rozważyć.

Po pierwsze, błąd (wariancja) w dowolnym określonym kierunku jest podawany przezi

σi2=eiΣei

Gdzie jest wektorem jednostkowym w kierunku zainteresowania.ei

Teraz, jeśli spojrzysz na to dla swoich trzech podstawowych współrzędnych , zobaczysz, że:(x,y,z)

σx2=[100][σxxσxyσxzσyxσyyσyzσxzσyzσzz][100]=σxx

σy2=σyy

σz2=σzz

Zatem błąd w każdym z kierunków rozpatrywanych osobno wynika z przekątnej macierzy kowariancji. Ma to intuicyjny sens - jeśli rozważam tylko jeden kierunek, zmiana samej korelacji nie powinna mieć znaczenia.

Masz rację, zauważając, że po prostu stwierdzasz:

x=μx±σx

y=μx±σy

z=μz±σz

Nie oznacza to żadnej korelacji między tymi trzema stwierdzeniami - każde zdanie samo w sobie jest całkowicie poprawne, ale wzięte razem niektóre informacje (korelacje) zostały usunięte.

Jeśli będziesz wykonywać wiele pomiarów, każdy z tą samą korelacją błędów (zakładając, że pochodzi to od sprzętu pomiarowego), wówczas jedną z eleganckich możliwości jest obrócenie współrzędnych w celu przekątnej macierzy kowariancji. Następnie możesz przedstawić błędy w każdym z tych kierunków osobno, ponieważ będą one teraz nieskorelowane.

Jeśli chodzi o przyjęcie „błędu wektorowego” przez dodanie kwadratury, nie jestem pewien, czy rozumiem, co mówisz. Te trzy błędy są błędami w różnych ilościach - nie znoszą się nawzajem, więc nie widzę, jak je dodać. Masz na myśli błąd na odległość?

Corone
źródło
Tak, mam na myśli błąd w całkowitej odległości, przepraszam za zamieszanie.
Dang Khoa
Ale odległość nie wynosi (chyba, że ​​faktycznie masz na myśli odległość taksówki?), Więc błędy nie będą dodawane w kwadraturze, prawda? Jeśli przyjmiemy normalność, wówczas będzie miało niecentralny rozkład chi-kwadrat na 3 stopniach swobody. Myślę, że rozkład odległości zacznie się robić chaotyczny bez pewnych uproszczeń. d=x+y+zd2=x2+y2+z2
Corone
@Corone, kiedy mówisz „Po pierwsze, błąd w jakimś konkretnym kierunku” Czy mówisz o wariancji, mówiąc błąd?
CroCo
1
@ coco tak to prawda, ponieważ zaczynamy od kowariancji
Corone