Jaki byłby przykładowy obraz liniowych modeli mieszanych?

Powiedz, że znajdujesz się w bibliotece swojego działu statystycznego i że na pierwszej stronie znajdujesz książkę z następującym obrazkiem.

Prawdopodobnie pomyślisz, że jest to książka o regresji liniowej.

Jaki obraz sprawiłby, że pomyślałeś o liniowych modelach mieszanych?

Do rozmowy użyłem następującego obrazu, który jest oparty na zestawie sleepstudydanych z pakietu lme4 . Chodziło o to, aby zilustrować różnicę między dopasowaniami regresji niezależnej z danych specyficznych dla pacjenta (szarymi) a przewidywaniami z modeli efektów losowych, zwłaszcza że (1) przewidywane wartości z modelu efektów losowych są estymatorami skurczu i że (2) wspólne trajektorie osób wspólne nachylenie z modelem wyłącznie z przypadkowym przechwytywaniem (pomarańczowy). Rozkłady przechwyconych obiektów są pokazane jako szacunki gęstości jądra na osi y ( kod R ).

_{(Krzywe gęstości wykraczają poza zakres obserwowanych wartości, ponieważ obserwacji jest stosunkowo niewiele).}

Bardziej „konwencjonalna” grafika może być następna, pochodząca z Douga Batesa (dostępna na stronie R-forge dla lme4 , np. 4Longitudinal.R ), gdzie możemy dodawać indywidualne dane w każdym panelu.

Więc coś nie jest „wyjątkowo eleganckie”, ale pokazuje przypadkowe przechwyty i zbocza również z R. (Myślę, że byłoby jeszcze fajniej, gdyby pokazał również rzeczywiste równania)

N =100; set.seed(123);


x1 = runif(N)*3; readings1 <- 2*x1 + 1.0 + rnorm(N)*.99;
x2 = runif(N)*3; readings2 <- 3*x2 + 1.5 + rnorm(N)*.99;
x3 = runif(N)*3; readings3 <- 4*x3 + 2.0 + rnorm(N)*.99;
x4 = runif(N)*3; readings4 <- 5*x4 + 2.5 + rnorm(N)*.99;
x5 = runif(N)*3; readings5 <- 6*x5 + 3.0 + rnorm(N)*.99;

X = c(x1,x2,x3,x4,x5);
Y = c(readings1,readings2,readings3,readings4,readings5)
Grouping  = c(rep(1,N),rep(2,N),rep(3,N),rep(4,N),rep(5,N))

library(lme4);
LMERFIT <- lmer(Y ~ 1+ X+ (X|Grouping))

RIaS <-unlist( ranef(LMERFIT)) #Random Intercepts and Slopes
FixedEff <- fixef(LMERFIT)    # Fixed Intercept and Slope

png('SampleLMERFIT_withRandomSlopes_and_Intercepts.png', width=800,height=450,units="px" )
par(mfrow=c(1,2))
plot(X,Y,xlab="x",ylab="readings")
plot(x1,readings1, xlim=c(0,3), ylim=c(min(Y)-1,max(Y)+1), pch=16,xlab="x",ylab="readings" )
points(x2,readings2, col='red', pch=16)
points(x3,readings3, col='green', pch=16)
points(x4,readings4, col='blue', pch=16)
points(x5,readings5, col='orange', pch=16)
abline(v=(seq(-1,4 ,1)), col="lightgray", lty="dotted");        
abline(h=(seq( -1,25 ,1)), col="lightgray", lty="dotted")   

lines(x1,FixedEff[1]+ (RIaS[6] + FixedEff[2])* x1+ RIaS[1], col='black')
lines(x2,FixedEff[1]+ (RIaS[7] + FixedEff[2])* x2+ RIaS[2], col='red')
lines(x3,FixedEff[1]+ (RIaS[8] + FixedEff[2])* x3+ RIaS[3], col='green')
lines(x4,FixedEff[1]+ (RIaS[9] + FixedEff[2])* x4+ RIaS[4], col='blue')
lines(x5,FixedEff[1]+ (RIaS[10]+ FixedEff[2])* x5+ RIaS[5], col='orange') 
legend(0, 24, c("Group1","Group2","Group3","Group4","Group5" ), lty=c(1,1), col=c('black','red', 'green','blue','orange'))
dev.off()

Ten wykres zaczerpnięty z dokumentacji Matlaba dla nlmefit uderza mnie jako taki, który naprawdę ilustruje koncepcję przypadkowych przechwyceń i spadków. Prawdopodobnie coś pokazującego grupy heteroskedastyczności w resztkach wykresu OLS byłoby również dość standardowe, ale nie dałbym „rozwiązania”.