Rozmiar testu i poziom istotności

Załóżmy, że masz losową próbkę z rozkładu, który obejmuje parametr który przyjmuje wartości w przestrzeni parametrów . Partycjonowanie przestrzeni parametrów jak i chcesz przetestować hipotezy które są nazywane zerowy i alternatywne hipotezy, odpowiednio. $X_1,\dots,X_n$ $\theta$ $\Theta$ $\Theta=\Theta_0\cup\Theta_1$

H_{0} : θ \in Θ_{0},

$H_0 : \theta \in \Theta_0 \, ,$

H_{1} : θ \in Θ_{1},

$H_1 : \theta \in \Theta_1 \, ,$

Niech oznacza przestrzeń próbki wszystkich możliwych wartości losowego wektora . Twoim celem w zbudowaniu procedury testowej jest podzielenie tej przykładowej przestrzeni na dwie części: region krytyczny , zawierający wartości dla których hipotezę zerową (a więc zaakceptuj alternatywny ) i region akceptacji , zawierający wartości dla których nie hipotezy zerowej (a zatem alternatywną ). $\mathscr{X}$ $X=(X_1,\dots,X_n)$ $\mathscr{X}$ $\mathscr{C}$ $X$ $H_0$ $H_1$ $\mathscr{A}$ $X$ $H_0$ $H_1$

Formalnie procedurę testową można opisać jako funkcję mierzalną , z oczywistą interpretacją w kategoriach decyzji podejmowanych na korzyść każdej z hipotez. krytycznym jest , a regionem akceptacji jest . $\varphi:\mathscr{X}\to\{0,1\}$ $\mathscr{C}=\varphi^{-1}(\{1\})$ $\mathscr{A}=\varphi^{-1}(\{0\})$

Dla każdej procedury testowej definiujemy jej funkcję mocy przez słowy, daje prawdopodobieństwo odrzucenia gdy wartością parametru jest . $\varphi$ $\pi_\varphi:\Theta\to[0,1]$

π_{φ} (θ) = Pr (φ (X) = 1 ∣ θ) = Pr (X \in C ∣ θ) .

$\pi_\varphi(\theta) = \Pr(\varphi(X)=1\mid\theta) = \Pr(X\in\mathscr{C}\mid\theta) \, .$

π_{φ} (θ)

$\pi_\varphi(\theta)$

H_{0}

$H_0$

θ

$\theta$

Decyzja o odrzuceniu gdy jest błędna . Tak więc, dla danego problemu, możesz rozważyć tylko te procedury testowe dla których , dla każdego , w których jest pewnym poziomem znaczenie ( ). Zauważ, że poziom istotności jest właściwością klasy procedur testowych. Możemy dokładnie opisać tę klasę jako $H_0$ $\theta\in\Theta_0$ $\varphi$ $\pi_\varphi(\theta)\leq\alpha$ $\theta\in\Theta_0$ $\alpha$ $0<\alpha<1$

T_{α} = {φ \in {0, 1}^{X} : π_{φ} (θ) \leq α, for every θ \in Θ_{0}} .

$\mathscr{T}_{\alpha} = \left\{ \varphi\in\{0,1\}^\mathscr{X} : \pi_\varphi(\theta)\leq\alpha, \textrm{for every}\; \theta\in\Theta_0\right\} \, .$

Dla każdej indywidualnej procedury testowej maksymalne prawdopodobieństwo nieprawidłowego odrzucenia nazywa się rozmiarem procedury testowej . $\varphi$ $\alpha_\varphi=\sup_{\theta\in\Theta_0}\pi_\varphi(\theta)$ $H_0$ $\varphi$

Bezpośrednio z tych definicji wynika, że po ustaleniu poziomu istotności i tym samym określeniu klasy dopuszczalnych procedur testowych, każda procedura testowa w tej klasie będzie miała rozmiar i odwrotnie. W skrócie, tylko wtedy, gdy . $\alpha$ $\mathscr{T}_{\alpha}$ $\varphi$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$ $\varphi\in\mathscr{T}_{\alpha}$ $\alpha_\varphi\leq\alpha$

Zen
źródło

Łał. Dziękujemy za cały wysiłek włożony w tę odpowiedź.

asb

Przyszedłem tutaj, aby dowiedzieć się o wielkości w stosunku do poziomu, i pozostawiłem zrozumienie testowania ogólnej hipotezy. Doskonałe połączenie intuicji i notacji.

gwg

Rozmiar testu i poziom istotności

Odpowiedzi: