Dlaczego estymator musi być niezależny od parametru?

Masz rację, że każdy rozsądny estymator będzie (niestałą) funkcją danych (z wyjątkiem niektórych szczególnych, prawdopodobnie patologicznych przypadków, takich jak mój przykład tutaj ). Prawidłowe jest zatem stwierdzenie, że rozsądny estymator zależy od poprzez swoją zależność od danych. Ale jestem prawie pewien, że wszystko to oznacza zdanie $\theta$

Pokaż, że jest rzeczywiście estymatorem - że jest funkcją , która nie zależy od $U^{\star}$ $X_i$ $\theta$

jest to, że formuła estymatora nie może zawierać parametru. Ma to na celu wykluczenie takich rzeczy jak , które byłyby doskonałym estymatorem (nawet gdybyś nie miał danych !!), ale musisz być w tym medium, aby je obliczyć :-) $\hat{\theta} = \theta$

Jak zauważono we fragmencie, który wkleiłeś, ponieważ jest wystarczającą statystyką, rozkład dowolnej statystyki, np. , zależny od , nie będzie zależał od . Dlatego nie może zależeć od , zapewniając, że będzie miała daną właściwość. $T$ $U$ $T$ $\theta$ $U^{\star} = E(U|T)$ $\theta$

Makro
źródło

+1 To pytanie odkrywa interesującą dwuznaczność w języku tego (dobrze przyjętego, popularnego) podręcznika: „polegać na ” może oznaczać co najmniej trzy różne rzeczy! (1) nie pojawia się wyraźnie we wzorze. (2) Chociaż może pojawić się w formule, formuła jest niezmienna przy zmianach w . (3) jest postrzegana jako (być może stała) zmienna losowa i „zależność” może być zamierzona w sensie zależności zmiennych losowych. Niestety, próba wyjaśnienia („dystrybucja ... nie obejmuje ”) jest zbyt niejasna, aby wiele pomóc.

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

Whuber

Cześć @ whuber - Nie jestem do końca pewien, co masz na myśli (2). Próbuję wymyślić estymator, który ma tę właściwość. Czy masz na myśli, że sposób obliczania estymatora byłby taki sam niezależnie od ? Wydaje się to równoważne z nie występującymi w formule. W przeciwnym razie znów musisz być w stanie wyliczyć kalkulatora, prawda? Jeśli miałeś na myśli niezmiennik w tym sensie, że wartość liczbowa estymatora pozostaje taka sama niezależnie od wartości , to nie brzmi jak bardzo dobry estymator :-) Czy możesz to wyjaśnić?

θ

$\theta$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

Makro

To subtelna różnica, ale jest prawdziwa. Jako trywialne przykład po stwierdzeniu sukcesy w IID prób dwumianowego parametrem oczywiście pojawia się (dopuszczalne) estymatora " ”, ale mimo to jest poprawny, ponieważ nie różni się od . Bardziej subtelnie (i wciąż trywialnie) w normalnym problemie z próbkowaniem, estymator nie tylko dotyczy ale w rzeczywistości się z nią zmienia - ale szansa, że nie jest stała, wynosi zero, a jest tak dobre, jak to tylko możliwe.

k

$k$

n

$n$

θ

$\theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + \log (\exp (θ)^{2}) / θ)

$(k+1)/(n+\log(\exp(\theta)^2)/\theta)$

θ

$\theta$

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

θ

$\theta$

\hat{μ}

$\hat{\mu}$

whuber

Wydaje mi się, że wciąż nie rozumiem tego. W pierwszym estymatorze , więc faktycznie anuluje wyrażenie i wydaje się, że lepiej jest po prostu zapisać je jako . Wydaje mi się, że naprawdę brakuje mi twojego punktu z drugim. Nie widzę tam i wydaje się, że ponieważ prawdopodobieństwo, że będzie liczbą całkowitą, wynosi zero. Tak więc z prawdopodobieństwem , które nie obejmuje . Prawdopodobnie jestem gęsty. Jeśli komentarz jest za długi, być może możemy to kiedyś zrobić na czacie.

\log (\exp (θ)^{2}) = 2 θ

$\log( \exp(\theta)^2 ) = 2 \theta$

θ

$\theta$

(k + 1) / (n + 2)

$(k+1)/(n+2)$

μ

$\mu$

P (\bar{x} \in Q) = 0

$P( \overline{x} \in \mathbb{Q}) = 0$

\bar{x}

$\overline{x}$

\hat{μ} = \bar{x}

$\hat{\mu} = \overline{x}$

1

$1$

θ

$\theta$

Makro

Przepraszam za literówkę: tym drugim estymatorem powinien być . W pierwszym przypadku rozróżnia się formułę i jej wartości. (BTW, twój równanie z nie jest w pełni poprawne, ponieważ nie dla , gdzie moja formuła jest niezdefiniowany.)

\hat{μ} = \bar{x} + 1000 μ I_{\bar{x} \in Q}

$\hat{\mu}=\bar{x}+1000\mu\mathbb{I}_{\bar{x}\in\mathbb{Q}}$

\log (\exp (θ)^{2}) / θ

$\log(\exp(\theta)^2)/\theta$

2

$2$

θ = 0

$\theta=0$

whuber

Dlaczego estymator musi być niezależny od parametru?

Odpowiedzi: