Czy można znaleźć połączone odchylenie standardowe?

Załóżmy, że mam 2 zestawy:

Zestaw A : liczba pozycji , ,$n= 10$$\mu = 2.4$$\sigma = 0.8$

Zestaw B : liczba pozycji , ,$n= 5$$\mu = 2$$\sigma = 1.2$

Mogę łatwo znaleźć połączoną średnią ( ), ale jak mam znaleźć połączone odchylenie standardowe?$\mu$

Tak więc, jeśli chcesz po prostu połączyć dwie z tych próbek w jedną, masz:

$s_1 = \sqrt{\frac{1}{n_1}\Sigma_{i = 1}^{n_1} (x_i - \bar{y}_1)^2}$

$s_2 = \sqrt{\frac{1}{n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_2} (y_i - \bar{y}_2)^2}$

gdzie i są średnimi próbkami, a i są przykładowymi odchyleniami standardowymi.$\bar{y}_1$$\bar{y}_2$$s_1$$s_2$

Aby je dodać, masz:

$s = \sqrt{\frac{1}{n_1 + n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_1 + n_2} (z_i - \bar{y})^2}$

co nie jest takie proste, ponieważ nowa średnia różni się od i :$\bar{y}$$\bar{y}_1$$\bar{y}_2$

$\bar{y} = \frac{1}{n_1 + n_2}\Sigma_{i = 1}^{n_1 + n_2} z_i = \frac{n_1 \bar{y}_1 + n_2 \bar{y}_2}{n_1 + n_2}$

Ostateczna formuła to:

$s = \sqrt{\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }}$

W przypadku powszechnie stosowanej wersji odchylenia standardowego z poprawką Bessela („ mianownik ”) wyniki dla średnich są takie same, jak wcześniej, ale$n-1$

$s = \sqrt{\frac{(n_1 - 1)s_1^2 + (n_2 - 1)s_2^2 + n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1+n_2 - 1} }$

Możesz przeczytać więcej informacji tutaj: http://en.wikipedia.org/wiki/Standard_deviation

Dotyczy to oczywiście grup :$K$

$$s = \sqrt{ \frac{\sum_{k=1}^K (n_k-1)s_k^2 + n_k(\bar{y}_k-\bar{y})^2} {(\sum_{k=1}^K n_k) -1} }$$

Miałem ten sam problem: mając odchylenie standardowe, średnie i rozmiary kilku podzbiorów z pustym przecięciem, obliczyć standardowe odchylenie sumy tych podzbiorów.

Lubię odpowiedź sashkello i Glen_b ♦ , ale chciałem znaleźć na to dowód. Zrobiłem to w ten sposób i zostawiam to tutaj na wypadek, gdyby było to pomocne dla kogokolwiek.

---

Dlatego celem jest przekonanie się, że rzeczywiście:

$$s = \left(\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2}$$

Krok po kroku:

$$\left(\frac{n_1 s_1^2 + n_2 s_2^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}(x_i - \bar{y_1})^2 + \sum_{i=1}^{n_2}(y_i - \bar{y_2})^2+ n_1(\bar{y}_1-\bar{y})^2 +n_2(\bar{y}_2-\bar{y})^2}{n_1 + n_2 }\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left((x_i - \bar{y_1})^2 + (\bar{y}_1-\bar{y})^2\right) + \sum_{i=1}^{n_2}\left((y_i - \bar{y_2})^2 + (\bar{y}_2-\bar{y})^2\right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 + 2\bar{y_1}^2 -2x_i\bar{y_1} -2\bar{y_1}\bar{y} \right)}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 + 2\bar{y_2}^2 -2y_i\bar{y_2} -2\bar{y_2}\bar{y} \right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right) + 2n_1\bar{y_1}^2 -2\bar{y_1}\sum_{i=1}^{n_1}x_i}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right) + 2n_2\bar{y_2}^2 -2\bar{y_2}\sum_{i=1}^{n_2}y_i}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right) + 2n_1\bar{y_1}^2 -2\bar{y_1}n_1\bar{y_1}}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right) + 2n_2\bar{y_2}^2 -2\bar{y_2}n_2\bar{y_2}}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}\right)}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_2}\frac{y_j}{n_2}\right)}{n_1 + n_2}\right)^{1/2}$$

Teraz sztuczka polega na uświadomieniu sobie, że możemy zmienić kolejność sum: ponieważ każdy termin pojawia się razy, możemy ponownie wpisz licznik jako

$$-2\bar{y}\sum_{j=1}^{n_1}\frac{x_j}{n_1}$$ $n_1$ $$\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i^2 + \bar{y}^2 -2\bar{y}x_i\right),$$

i stąd kontynuacja łańcucha równości:

$$= \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1}\left(x_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2} + \frac{\sum_{i=1}^{n_2}\left(y_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = \left(\frac{\sum_{i=1}^{n_1 + n_2}\left(z_i - \bar{y}\right)^2}{n_1 + n_2}\right)^{1/2} = s \qquad \square$$

Powiedziano, że istnieje prawdopodobnie prostszy sposób na zrobienie tego.

Wzór można rozszerzyć na podzestawów, jak podano wcześniej. Dowodem będzie indukcja liczby zestawów. Przypadek podstawowy został już udowodniony, a na etapie indukcyjnym należy zastosować do tego drugiego podobny łańcuch równości.$k$