Jaka jest hipoteza NULL dla interakcji w dwustronnej ANOVA?

Powiedzmy, że mamy dwa czynniki (A i B), każdy z dwoma poziomami (A1, A2 i B1, B2) i zmienną odpowiedzi (y).

Podczas wykonywania dwukierunkowej ANOVA typu:

y~A+B+A*B

Testujemy trzy hipotezy zerowe:

1. Nie ma różnicy w średnich współczynnika A.
2. Nie ma różnicy w średnich ze współczynnika B.
3. Nie ma interakcji między czynnikami A i B.

Po zapisaniu pierwszych dwóch hipotez można łatwo sformułować (dla 1 jest to )$H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$

Ale jak sformułować hipotezę 3?

edytuj : a jak sformułować to w przypadku więcej niż dwóch poziomów?

Dzięki.

Myślę, że ważne jest wyraźne oddzielenie hipotezy i odpowiadającego jej testu. W poniższych punktach zakładam zrównoważony projekt CRF- między badanymi (równe rozmiary komórek, notacja Kirka: projekt całkowicie losowy).$pq$

i j A k B 1 ≤ i ≤ n 1 ≤ j ≤ p 1 ≤ k ≤ q Y i j k = μ j k + ϵ i ( j k )$Y_{ijk}$ to obserwacja w traktowaniu czynnika i traktowaniu czynnika pomocą , i . Model to$i$$j$$A$$k$$B$$1 \leq i \leq n$$1 \leq j \leq p$$1 \leq k \leq q$$Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

Projekt: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

j k ϵ i ( j k ) i ( ) j k $\mu_{jk}$ to oczekiwana wartość w komórce , to błąd związany z pomiarem osoby w tej komórce. Notacja wskazuje, że indeksy są stałe dla każdej osoby określonej dlatego, że człowiek jest obserwowany tylko w jednym stanie. Kilka definicji efektów:$jk$$\epsilon_{i(jk)}$$i$$()$$jk$$i$

j$\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ (średnia oczekiwana wartość dla leczenia czynnika )$j$$A$

k$\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ (średnia oczekiwana wartość dla leczenia czynnika )$k$$B$

j A ∑ p j = 1 α j = $\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ (efekt leczenia czynnika , )$j$$A$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

k B ∑ q k = 1 β k = $\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ (efekt leczenia czynnika , )$k$$B$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

j A k B ∑ p j = 1 ( α β ) j k = $(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
(efekt interakcji dla kombinacji leczenia czynnika z leczeniem czynnika ,$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

j A k B ∑ p j = 1 α ( k ) j = $\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
(warunkowy główny efekt leczenia czynnika w ramach ustalonego leczenia czynnika ,$j$$A$$k$$B$$\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

k B j A ∑ q k = 1 β ( j ) k = $\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
(warunkowy główny efekt leczenia czynnika w ramach ustalonego leczenia czynnika ,$k$$B$$j$$A$$\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

With these definitions, the model can also be written as: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

This allows us to express the null hypothesis of no interaction in several equivalent ways:

1. $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
   (all individual interaction terms are $0$, such that $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$. This means that treatment effects of both factors - as defined above - are additive everywhere.)

2. $H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
   (all conditional main effects for any treatment $j$ of factor $A$ are the same, and therefore equal $\alpha_{j}$. This is essentially Dason's answer.)

3. $H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
   (all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$.)

4. μ j k A x B $H_{0_{I}}$ : Na schemacie, który pokazuje oczekiwane wartości z poziomami czynnika na osi i poziomami czynnika narysowanymi jako osobne linie, różne linie są równoległe.$\mu_{jk}$$A$$x$$B$$q$

Interakcja mówi nam, że poziomy czynnika A mają różne skutki w zależności od zastosowanego poziomu czynnika B. Możemy to przetestować za pomocą kontrastu liniowego. Niech C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2), gdzie A1B1 oznacza średnią grupy, która otrzymała A1 i B1 i tak dalej. Więc patrzymy na A1B1 - A1B2, który jest efektem, jaki ma czynnik B, gdy stosujemy A1. Jeśli nie ma interakcji, powinno to być takie samo, jak efekt B, gdy zastosujemy A2: A2B1 - A2B2. Jeśli są takie same, ich różnica powinna wynosić 0, abyśmy mogli skorzystać z testów:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$