Twierdzenie Gaussa-Markowa: NIEBIESKI i OLS

9

Czytam o twierdzeniu Guassa-Markowa na wikipedii i miałem nadzieję, że ktoś może mi pomóc ustalić główny punkt tego twierdzenia.

Zakładamy, że model liniowy w postaci macierzy podaje: i szukamy NIEBIESKIEGO, .

y=Xβ+η
β^

Zgodnie z tym , to, że etykieta "pozostałych" i przycisków "błąd". (Tj. Przeciwieństwo użycia na stronie Gaussa-Markowa).η=y-Xβε=β^-β

Estymator OLS (zwykłe najmniejszych kwadratów) można wyprowadzić jako argmin parametru .||pozostały||2)2)=||η||2)2)

Teraz pozwól mioznacz operator oczekiwania. W moim rozumieniu twierdzenie Gaussa-Markowa mówi nam, że jeślimi(η)=0 i Var(η)=σ2)ja, następnie argmin, we wszystkich liniowych, obiektywnych estymatorach, z mi(||błąd||2)2))=mi(||ε||2)2)) jest podany w tym samym wyrażeniu co estymator OLS.

To znaczy

argminβ^(y)||η||2)2)=(XX)-1Xy=argminliniowy, bezstronny β^(y)mi(||ε||2)2))

Czy moje rozumowanie jest prawidłowe? A jeśli tak, czy powiedziałbyś, że zasługuje on na wyraźniejsze podkreślenie w artykule?

Patrick
źródło

Odpowiedzi:

14

Nie jestem pewien, czy dobrze zrozumiałem twoje pytanie, ale czy chcesz udowodnić, że OLS β^ jest NIEBIESKI (najlepszy liniowy obiektywny estymator), musisz udowodnić następujące dwie rzeczy: Po pierwsze β^ jest bezstronny i po drugie Var(β^) jest najmniejszym spośród wszystkich liniowych obiektywnych estymatorów.

Dowód, że estymator OLS jest bezstronny, można znaleźć tutaj http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

i udowodnij to V.zar(β^)jest najmniejszy spośród wszystkich liniowych obiektywnych estymatorów, które można znaleźć tutaj http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/

ProofGauss
źródło
Dowody są pomocne, tak.
Patrick,
0

Wygląda na to, że moje przeczucie było słuszne, co zostało potwierdzone, np. Na stronie 375 książki „ Wprowadzenie do ekonometrii” . Odpowiedni fragment:

Fragment książki

Patrick
źródło
Napisz coś więcej, ponieważ Twoja odpowiedź może być pomocna dla innych w przyszłości.
Tim
Twój link jest uszkodzony.
Glen_b