Powiedzmy, że mamy losową zmienną o znanej wariancji i średniej. Pytanie brzmi: jaka jest wariancja dla danej funkcji f. Jedyną ogólną metodą, o której wiem, jest metoda delta, ale daje ona jedynie przybliżenie. Teraz interesuje mnie , ale byłoby miło poznać kilka ogólnych metod.
Edytuj 29.12.2010
Przeprowadziłem kilka obliczeń przy użyciu serii Taylora, ale nie jestem pewien, czy są one poprawne, więc byłbym szczęśliwy, gdyby ktoś mógł je potwierdzić .
Teraz możemy w przybliżeniu
Korzystając z aproksymacji wiemy, żef ( μ ) - E f ( x ) ≈ - 1
Za pomocą tego otrzymujemy:
D2[f(X)]≈1
variance
random-variable
delta-method
Tomek Tarczyński
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Aktualizacja
Nie doceniłem rozszerzeń Taylora. Oni faktycznie działają. Zakładałem, że całka pozostałego terminu może być nieograniczona, ale przy odrobinie pracy można wykazać, że tak nie jest.
Rozszerzenie Taylora działa dla funkcji w ograniczonym zamkniętym przedziale. Dla zmiennych losowych o skończonej wariancji daje nierówność Czebyszewa
Tak więc dla każdego możemy znaleźć wystarczająco duże c , abyε>0 c
Najpierw oszacujmy . Mamy E f ( X ) = ∫ | x - E X | ≤ c f ( x ) d F ( x ) + ∫ | x - E X | > c f ( x ) d F ( x ) gdzie F ( x ) jest funkcją rozkładu dlaEf(X)
Ponieważ domeną pierwszej całki jest przedział który jest ograniczonym przedziałem zamkniętym, możemy zastosować rozszerzenie Taylora: f ( x ) = f ( E X ) + f ′ ( E X ) ( x - E X ) + f ″ ([EX−c,EX+c]
gdzieα∈[EX-c,EX+c], a równość obowiązuje dla wszystkichx∈[EX-c,EX+c]
Zastępując tę formułę poprzednią otrzymujemy
Teraz możemy zwiększyć domenę integracji, aby uzyskać następującą formułę
źródło
Znajomość pierwszych dwóch momentów X (średnia i wariancja) nie wystarczy, jeśli funkcja f (x) jest dowolna (nieliniowa). Nie tylko do obliczania wariancji transformowanej zmiennej Y, ale także dla jej średniej. Aby to zobaczyć - i być może zaatakować twój problem - możesz założyć, że twoja funkcja transformacji ma rozszerzenie Taylora wokół średniej X i działa od tego momentu.
źródło