Dowód związku między współczynnikiem ryzyka, gęstością prawdopodobieństwa, funkcją przeżycia

Czytam trochę na temat analiz przetrwania i większość podręczników to stwierdza

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t} =\frac{f(t)}{1-F(t)} (1)$

gdzie $h(t)$ jest wskaźnikiem ryzyka,

$f(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t)}{ \Delta t}(2)$ funkcja gęstości,

$F(t)=Pr(T<t) (3)$ i

$S(t)=Pr(T>t)=1-F(t) (4)$

Oni też to stwierdzają

$S(t)= e^{- \int_0^t h(s)ds } (5)$

Większość podręczników (przynajmniej tych, które posiadam) nie zawiera dowodu na (1) lub (5). Myślę, że udało mi się przejść przez (1) w następujący sposób

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t}=$ $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t ) P(t < T \leq t+\Delta t)}{ P(T \geq t)\Delta t}$ które z powodu (2) i (4) staje się $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )f(t)}{S(t)\Delta t}$ ale $P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )=1$ zatem $h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

Jak udowodnić (5)?

Pochodna to Dlatego, jak wspomniano @ StéphaneLaurent, mamy gdzie ostatnia równość wynika z (1).$S$

$$\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}} = \frac{\mathrm{d}(1 - F(t))}{\mathrm{dt}} = - \frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{dt}} = -f(t)$$ $$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)} = h(t)$$

Biorąc całkę z obu stron poprzedniej relacji, otrzymujemy tak, że

$$-\log(S(t)) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s$$ $$S(t) = \exp \left\{- \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s\right\}$$

To jest twoje równanie (5). Integralną częścią wykładniczego jest zintegrowane zagrożenie, zwane także skumulowanym zagrożeniem [tak, że ].$H(t)$$S(t) = \exp(-H(t))$

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}\ $$ $$= \frac{f(t)}{1-F(t)}$$ $$= \frac{f(t)}{1- \int^t_0{f(s) ds}}$$

Zintegruj obie strony: Rozróżnij obie strony:

$$\int^t_0 h(s) ds = \int^t_0 \frac{f(s)}{1- \int^t_0{f(s)ds}}ds$$ $$= -\ln [1- \int^t_0{f(s)ds}]^t_0+ c$$ $$1- \int^t_0{f(s)ds} = \exp [-\int^t_0 h(s) ds]$$ $$-f(t) = -h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$$ $$f(t) = h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$$

Ponieważ

$$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$$

$$S(t) = \frac{f(t)}{h(t)}$$

Zamień na , Dlatego $f(t)$$h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

$$S(t) = \frac{h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]}{h(t)}$$ $$S(t) = \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$$

Udowadniamy następujące równanie: proof:

$$S(t)=\exp\{-\int_{0}^{t}h(u)du\}$$

Najpierw udowodnimy, że dowód:

$$f(t)=-\frac{dS(t)}{dt}$$

$$f(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{dP(T<t)}{dt}=\frac{d(1-S(t))}{dt}=-\frac{dS(t)}{dt}\ \blacksquare$$ I wiemy, że Zamień na otrzymujemy a następnie kontynuuj nasz główny dowód. Po zintegrowaniu obu stron powyższego równania otrzymujemy Następnie otrzymujemy wynik $$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$$ $f(t)$$h(t)$ $$h(t)=\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$$ $$\int_0^th(u)du=\int_0^t\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}dt=\int_0^t-S(t)^{-1}dS(t)\\ =-[\log S(t)-\log S(0)]=-\log S(t)$$ $$S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)du\}\ \blacksquare$$