Rozważ prosty model liniowy:
gdzie i , a zawiera kolumnę stałych.
My pytanie, ponieważ , i , ma wzór o nie trywialne górną granicę *? (przy założeniu, że model został oszacowany przez OLS).
* Przypuszczałem, pisząc to, że coraz sama w sobie nie byłoby to możliwe.
EDYCJA 1
stosując rozwiązanie wyprowadzone przez Stéphane Laurenta (patrz poniżej) możemy uzyskać nietrywialną górną granicę . Niektóre symulacje numeryczne (poniżej) pokazują, że ta granica jest w rzeczywistości dość ścisła.
Stéphane Laurent pochodzące następujące: gdzie jest poza centrum dystrybucji beta, non-centralność parametr z
Więc
gdzie jest z parametrem i stopni swobody. Tak nietrywialnym górna granica dla to
jest bardzo ciasny (możliwe byłoby ściślejsze niż oczekiwałem):
na przykład za pomocą:
rho<-0.75
p<-10
n<-25*p
Su<-matrix(rho,p-1,p-1)
diag(Su)<-1
su<-1
set.seed(123)
bet<-runif(p)
średnia z ponad 1000 symulacji wynosi 0.960819
. Teoretyczna górna granica powyżej daje 0.9609081
. Związany wydaje się być równie precyzyjne w wielu wartości . Naprawdę zdumiewające!
EDYCJA 2:
Po dalszych badaniach, to pojawia się , że jakość górnej granicy przybliżenie będzie lepiej co X + s wzrasta (a reszta równych X zwiększa się z N ).
źródło
Odpowiedzi:
Można zapisać dowolny model liniowy gdzie G ma standardowy rozkład normalny na R n i przyjmuje się, że μ należy do podprzestrzeni liniowej W z R n . W twoim przypadku W = Im ( X ) .Y=μ+σG G Rn μ W Rn W=Im(X)
Niech będzie jednowymiarową podprzestrzenią liniową generowaną przez wektor ( 1 , 1 , … , 1 ) . Biorąc U = [ 1 ] poniżej, R 2 jest silnie związana z klasycznego statystycznego Fisher F = ‖ P Z Y ‖ 2 / ( m - ℓ )[1]⊂W (1,1,…,1) U=[1] R2
dla testu hipotezyH0:{μ∈U},gdzieU⊂Wjest podprzestrzenią liniową, i oznaczające Z=U⊥∩Wortogonalnym dopełnieniemUwW, a oznaczającem=dim(W)iℓ=dim(U)
Rzeczywiście, , ponieważ definicjaR2to R2= ‖ P Z Y ‖ 2
ObviouslyPZY=PZμ+σPZG and
P⊥WY=σP⊥WG .
WhenH0:{μ∈U} is true then PZμ=0 and therefore
The classical relation between the Fisher distribution and the Beta distribution hold in the noncentral situation too. FinallyR2 has the noncentral beta distribution with "shape parameters" m−ℓ and n−m and noncentrality parameter λ . I think the moments are available in the literature but they possibly are highly complicated.
Finally let us write downPZμ . Note that PZ=PW−PU . One has PUμ=μ¯1 when U=[1] , and PWμ=μ . Hence PZμ=μ−μ¯1 where here μ=Xβ for the unknown parameters vector β .
źródło