Stosunek sumy Normalnej do sumy kostek Normalnej

12

Proszę o pomoc w znalezieniu rozkładu granicznego (jako n ):

Un=X1+X2)++XnX13)+X2)3)+Xn3),
gdzieXjaoznaczająN.(0,1).
Arunangshu Biswas
źródło
1
Próbowałeś już spojrzeć na transformacje zmiennych losowych? Na przykład można wypróbować charakterystyczne funkcje, transformaty Laplace'a-Stieltjesa itp.
Stijn
1
Wskazówka: Licznik i mianownik są asymptotycznie dwuwymiarowe normalne. Możesz bezpośrednio obliczyć ich momenty: ich średnie są oczywiście zerowe, wariancja licznika wynosi n , wariancja mianownika wynosi 15n , a kowariancja wynosi 3)n . (Zatem korelacja wynosi 3)/150,775.) Aby znaleźć rozkład graniczny, należy wyrazić dowolną zerową średnią dwuwymiarową normalną(U,V.)w postaci(ZA,βZA+b)dla niezależnych zerowych średnich normalnychZAibi stałejβ, a następnie zauważyć, że stosunekV./U=β+b/ZAjest przesuniętym skalowanym rozkładem Cauchy'ego.
whuber

Odpowiedzi:

2

Jeśli preparat był gdzieXiN(0,1)iYiN(0,1)są niezależne, byłoby to tylko klasyczne ćwiczenie z podręcznika. Korzystasz z faktu, żeFn d F.

Un=X1+X2)++XnY13)+Y2)3)+Yn3)
XiN(0,1)YiN(0,1) i możemy wnioskować, żeasymptotyUdo skalowanego rozkładu Cauchy'ego.
fanrefa,solnresolfansolnrefasol
U

Ale w twoim sformułowaniu nie możemy zastosować twierdzenia z powodu zależności. Mój Monte-Carlo sugeruje, że rozkład graniczny nie jest zdegenerowany i nie ma pierwszego momentu i nie jest symetryczny. Byłbym zainteresowany, czy istnieje wyraźne rozwiązanie tego problemu. Wydaje mi się, że rozwiązanie można napisać tylko pod względem procesu Wienera.Un

[EDYCJA] Po wskazówkach Whubera, zwróć uwagę na to

gdzie(Z1,Z2)N(0,(13315)), zwracając uwagę, żeE[X41]=3iE[X61]=15. (momenty normalnej normy,(n

(1nXja,1nXja3))re(Z1,Z2))
(Z1,Z2))N.(0,(13)3)15))
mi[X14]=3)mi[X16]=15dla parzystej n ) Następnie przez ciągłe twierdzenie o odwzorowaniu mamy U n d Z 1(n-1)!!n Zwracając uwagę, że możemy napisaćZ1=1
UnreZ1Z2)
gdzieZ3N(0,1)i niezależnie odZ2, wnioskujemy, żeUnZ1=15Z2)+2)5Z3)Z3)N.(0,1)Z2)gdzieΓCauchy
Unre15+2)5Z3)Z2)15+2)75Γ
Γdozaudohy
Juliusz
źródło