Zależność między współczynnikami korelacji phi, Matthewsa i Pearsona

Czy współczynniki korelacji phi i Matthewsa to ta sama koncepcja? W jaki sposób są one powiązane lub równoważne ze współczynnikiem korelacji Pearsona dla dwóch zmiennych binarnych? Zakładam, że wartości binarne to 0 i 1.

---

Korelacja Pearsona między dwiema zmiennymi losowymi Bernoulliego i wynosi:$x$$y$

$$\rho = \frac{\mathbb{E} [(x - \mathbb{E}[x])(y - \mathbb{E}[y])]} {\sqrt{\text{Var}[x] \, \text{Var}[y]}} = \frac{\mathbb{E} [xy] - \mathbb{E}[x] \, \mathbb{E}[y]}{\sqrt{\text{Var}[x] \, \text{Var}[y]}} = \frac{n_{1 1} n - n_{1\bullet} n_{\bullet 1}}{\sqrt{n_{0\bullet}n_{1\bullet} n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}}$$

gdzie

$$\mathbb{E}[x] = \frac{n_{1\bullet}}{n} \quad \text{Var}[x] = \frac{n_{0\bullet}n_{1\bullet}}{n^2} \quad \mathbb{E}[y] = \frac{n_{\bullet 1}}{n} \quad \text{Var}[y] = \frac{n_{\bullet 0}n_{\bullet 1}}{n^2} \quad \mathbb{E}[xy] = \frac{n_{11}}{n}$$

---

Współczynnik Phi z Wikipedii:

W statystykach współczynnik phi (określany również jako „średni kwadratowy współczynnik kontyngencji” i oznaczony przez lub ) jest miarą asocjacji dwóch zmiennych binarnych wprowadzonych przez Karla Pearsona. Miara ta jest podobna do współczynnika korelacji Pearsona w jej interpretacji. W rzeczywistości współczynnik korelacji Pearsona oszacowany dla dwóch zmiennych binarnych zwróci współczynnik phi ...$\phi$$r_\phi$

Jeśli mamy tabelę 2 × 2 dla dwóch zmiennych losowych i$x$$y$

Phi współczynnik, który opisuje związek z i jest $x$$y$

$$\phi = \frac{n_{11}n_{00} - n_{10}n_{01}}{\sqrt{n_{1\bullet}n_{0\bullet}n_{\bullet0}n_{\bullet1}}}$$

Współczynnik korelacji Matthewsa z Wikipedii:

Współczynnik korelacji Matthewsa (MCC) można obliczyć bezpośrednio z macierzy zamieszania, korzystając ze wzoru:

$$\text{MCC} = \frac{ TP \times TN - FP \times FN } {\sqrt{ (TP + FP) (TP + FN) (TN + FP) (TN + FN) } }$$

W tym równaniu TP jest liczbą prawdziwie pozytywnych, TN liczbą prawdziwych negatywów, FP liczbą fałszywych trafień, a FN liczbą fałszywie ujemnych. Jeśli którakolwiek z czterech sum w mianowniku wynosi zero, mianownik można dowolnie ustawić na jeden; skutkuje to zerowym współczynnikiem korelacji Matthewsa, który można wykazać jako prawidłową wartość graniczną.

Tak, są takie same. Współczynnik korelacji Matthewsa jest tylko szczególnym zastosowaniem współczynnika korelacji Pearsona do tabeli dezorientacji.

Tabela awaryjna to tylko podsumowanie podstawowych danych. Możesz przekonwertować go z liczb pokazanych w tabeli awaryjnej na jeden wiersz na obserwacje.

Rozważ przykładową macierz nieporozumień zastosowaną w artykule w Wikipedii z 5 prawdziwymi pozytywami, 17 prawdziwymi negatywami, 2 fałszywymi pozytywami i 3 fałszywymi negatywami

> matrix(c(5,3,2,17), nrow=2, byrow=TRUE)
     [,1] [,2]
[1,]    5    3
[2,]    2   17
> 
> # Matthews correlation coefficient directly from the Wikipedia formula
> (5*17-3*2) / sqrt((5+3)*(5+2)*(17+3)*(17+2))
[1] 0.5415534
> 
> 
> # Convert this into a long form binary variable and find the correlation coefficient
> conf.m <- data.frame(
+ X1=rep(c(0,1,0,1), c(5,3,2,17)),
+ X2=rep(c(0,0,1,1), c(5,3,2,17)))
> conf.m # what does that look like?
   X1 X2
1   0  0
2   0  0
3   0  0
4   0  0
5   0  0
6   1  0
7   1  0
8   1  0
9   0  1
10  0  1
11  1  1
12  1  1
13  1  1
14  1  1
15  1  1
16  1  1
17  1  1
18  1  1
19  1  1
20  1  1
21  1  1
22  1  1
23  1  1
24  1  1
25  1  1
26  1  1
27  1  1
> cor(conf.m)
          X1        X2
X1 1.0000000 0.5415534
X2 0.5415534 1.0000000

Po pierwsze wystąpił błąd literowy w pytaniu: to nie ale raczej$\mathbb{E}[xy]$$\displaystyle \frac{n_{\bullet 1}n_{1\bullet}}{n^2}$

$$\frac{n_{11}}{n} \times 1 \times 1 + \frac{n_{10}}{n}\times 1 \times 0 + \frac{n_{01}}{n} \times 0 \times 1 + \frac{n_{00}}{n} \times 0 \times 0 = \frac{n_{11}}{n}$$

Po drugie, kluczem do pokazania, że jest$\rho = \phi$

$$n_{11} n - n_{1\bullet} n_{\bullet 1} = n_{11} (n_{01} + n_{10} + n_{11} + n_{00}) - (n_{11} + n_{10}) (n_{11} + n_{01}) \\ = n_{11} n_{00} - n_{10} n_{01}$$