Umieszczenie pierwszeństwa parametru stężenia w procesie Dirichleta

9

Większość z tego stanowi tło, przejdź do końca, jeśli wiesz już wystarczająco dużo o mieszaninach procesowych Dirichleta . Załóżmy, że modeluję niektóre dane pochodzące z mieszanki procesów Dirichleta, tj. Pozwól i od załóżmy, żefare(αH.)fa

Yjajajarefa(y|θ)fa(reθ).

Tutaj i jest poprzednią miarą podstawową. Okazuje się, że jeśli dla każdej obserwacji , jeśli znam skojarzone utajone , prawdopodobieństwo w tym modelu wynosi gdzie jest liczbą różnych wartości (losowa miara jest prawie na pewno dyskretna). Escobar i West opracowują następujący schemat próbkowania przy użyciu wcześniejszego gamma; najpierw pisząα>0αH.Yjaθjaα

L.(α|t)αtΓ(α)Γ(α+n)
tθjafaα
π(α|t)π(α)αtΓ(α)Γ(α+n)π(α)αt-1(α+n)b(α+1,n)=π(α)αt-1(α+n)01xα(1-x)n-1 rex,
gdzie jest funkcją beta. Następnie zauważ, że jeśli wprowadzimy ukryty parametr wówczas prawdopodobieństwo ma postać mieszanki rozkładów gamma i wykorzystujemy to do zapisania próbnika Gibbsa.b(,)XBeta(α+1,n)

Teraz moje pytanie. Dlaczego nie możemy po prostu napisać a zamiast mieszanki rozkładów gamma użyć pojedynczego rozkładu gamma? Jeśli wprowadzimy czy nie powinienem być w stanie zrobić tego samego, ale bez konieczności używania mikstury?

L.(α|t)αtΓ(α)Γ(α+n)=αtΓ(n)Γ(α)Γ(α+n)Γ(n)=αtb(α,n)Γ(n)αt01xα-1(1-x)n-1 rex,
XBeta(α,n)

Edytuj, aby uzyskać więcej informacji Więcej szczegółów: Aby wypełnić niektóre luki, argumenty w Escobar i West są takie, że pozwolenie na rozkład gamma o kształcie i oznaczeniu , i dlatego możemy przedstawić ukryty więcPełne warunki warunkowe to rozkład dla i mieszanina iαzaza/b

π(α|t)αza+t-2)(α+n)mi-bα01xα(1-x)n-1 rex
X
π(α,x|t)αza+t-2)(α+n)mi-bαxα(1-x)n-1.
Beta(α+1,n)Xsol(za+t,b-log(x))sol(za+t-1,b-log(x)) dla .α

Pod tym samym argumentem otrzymałem ten sam wynik, ale z dla i dla . Wydaje mi się to łatwiejsze; dlaczego po prostu tego nie robią?Beta(α,n)Xsol(za+t,b-log(x))α

chłopak
źródło

Odpowiedzi:

3

Nie rozumiem, jak to, co napisałeś, różni się zasadniczo od Escobara i Westa.

π(α|t)π(α)π(t|α)=π(α)L(α|t)π(α)αtΓ(α)Γ(α+n)π(α)αtΓ(α)Γ(n)Γ(α+n)=π(α)αtB(α,n)=π(α)αt1(α+n)B(α+1,n)
gdzie od drugiej do ostatniej linii jest to, jak masz, a ostatnia linia to, jak E&W są one równe od n) \ end {eqnarray *} przywołując to
αB(α,n)=αΓ(α)Γ(n)Γ(α+n)=(αΓ(α))Γ(n)(α+n)(Γ(α+n)(α+n))=(α+n)Γ(α+1)Γ(n)Γ(α+n+1)=(α+n)B(α+1,n)
Γ(z+1)=zΓ(z) .

Domyślam się, że woleli formułę od twojej, ponieważ ma ona tylko funkcję funkcji Beta, a nie produkt Beta i Gamma, ale mogę się mylić. Nie do końca podążyłem za ostatnim fragmentem, który napisałeś, czy mógłbyś bardziej wyrazić się na temat swojego schematu próbkowania?

Daniel Johnson
źródło
Dodano dodatkowe szczegóły w moim poście.
facet