Test Walda na regresję logistyczną

O ile rozumiem test Walda w kontekście regresji logistycznej służy do ustalenia, czy określona zmienna predykcyjna jest znacząca, czy nie. Odrzuca hipotezę zerową odpowiadającego współczynnikowi równego zero.$X$

Test polega na podzieleniu wartości współczynnika przez błąd standardowy .$\sigma$

Mylę się, że jest również znany jako Z-score i wskazuje, jak prawdopodobne jest, że dana obserwacja pochodzi z rozkładu normalnego (ze średnią zero).$X/\sigma$

Oszacowania współczynników i przechwytywania w regresji logistycznej (i dowolnym GLM) można znaleźć poprzez oszacowanie największej wiarygodności (MLE). Szacunki te są oznaczane w kapeluszu nad parametrami, coś θ . Nasz parametr będący przedmiotem zainteresowania jest oznaczony θ 0 i zwykle jest to 0, ponieważ chcemy sprawdzić, czy współczynnik różni się od 0, czy nie. Od asymptotycznej teorii MLE, wiemy, że różnica między θ i θ 0 będzie w przybliżeniu rozkład normalny ze średnią 0 (szczegóły można znaleźć w każdej książce statystyki matematycznej, takich jak Larry Wasserman na wszystkich statystyk ). Przypomnij sobie, że standardowe błędy to nic innego jak$\hat{\theta}$$\theta_{0}$$\hat{\theta}$$\theta_{0}$standardowe odchylenia statystyczne (Sokal i Rohlf piszą w swojej książce Biometry : „ statystyka to dowolna z wielu obliczonych lub oszacowanych wielkości statystycznych”, np. średnia, mediana, odchylenie standardowe, współczynnik korelacji, współczynnik regresji, ...). Dzielenie rozkładu normalnego ze średnią 0 i odchyleniem standardowym przez jego odchylenie standardowe da standardowy rozkład normalny ze średnią 0 i odchyleniem standardowym 1. Statystyka Walda jest zdefiniowana jako (np. Wasserman (2006): All of Statistics , strony 153, 214 -215): W = ( β - β 0$\sigma$ lub W2=(β-β0)

$$W=\frac{(\hat{\beta}-\beta_{0})}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}\sim \mathcal{N}(0,1)$$ Drugi sposób polega na tym, że kwadratowy z rozkładu normalnego jestχ21-Dystrybucja o 1 stopień swobody (suma dwóch kwadratu standardowe rozkładu normalnego będzieχ22 -dystrybucja z 2 stopniami swobody i tak dalej). $$W^{2}=\frac{(\hat{\beta}-\beta_{0})^2}{\widehat{\operatorname{Var}}(\hat{\beta})}\sim \chi^{2}_{1}$$ $\chi^{2}_{1}$$\chi^{2}_{2}$

$\beta_{0}=0$

$$W=\frac{\hat{\beta}}{\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta})}\sim \mathcal{N}(0,1)$$

---

$z$$t$

$z$$t$$z$$p$$t$$z$$\operatorname{Var}[\hat{\beta}|X]=\sigma^2(X'X)^{-1}$$\sigma^2$$X$$\sigma^2$$\hat{\sigma}^{2}=s^2$$\widehat{\operatorname{se}}(\hat{\beta_{j}})=\sqrt{s^2(X'X)_{jj}^{-1}}$$t$$t$

$Y\sim Bin(n, p)$$E(Y)=np$$\operatorname{Var}(Y)=np(1-p)$$\phi$$\phi=1$$\phi<1$$\phi>1$$z$$t$$p$-wartości. W R, spójrz na te dwa przykłady:

Regresja logistyczna

mydata <- read.csv("http://www.ats.ucla.edu/stat/data/binary.csv")

mydata$rank <- factor(mydata$rank)

my.mod <- glm(admit ~ gre + gpa + rank, data = mydata, family = "binomial")

summary(my.mod)

Coefficients:
             Estimate Std. Error z value Pr(>|z|)    
(Intercept) -3.989979   1.139951  -3.500 0.000465 ***
gre          0.002264   0.001094   2.070 0.038465 *  
gpa          0.804038   0.331819   2.423 0.015388 *  
rank2       -0.675443   0.316490  -2.134 0.032829 *  
rank3       -1.340204   0.345306  -3.881 0.000104 ***
rank4       -1.551464   0.417832  -3.713 0.000205 ***
   ---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1 

(Dispersion parameter for binomial family taken to be 1)

$z$

---

Normalna regresja liniowa (OLS)

summary(lm(Fertility~., data=swiss))

Coefficients:
                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
(Intercept)      66.91518   10.70604   6.250 1.91e-07 ***
Agriculture      -0.17211    0.07030  -2.448  0.01873 *  
Examination      -0.25801    0.25388  -1.016  0.31546    
Education        -0.87094    0.18303  -4.758 2.43e-05 ***
Catholic          0.10412    0.03526   2.953  0.00519 ** 
Infant.Mortality  1.07705    0.38172   2.822  0.00734 ** 
---
Signif. codes:  0 ‘***’ 0.001 ‘**’ 0.01 ‘*’ 0.05 ‘.’ 0.1 ‘ ’ 1

Residual standard error: 7.165 on 41 degrees of freedom

$t$$z$$t$

Kolejny powiązany post można znaleźć tutaj .