Intuicja dla skumulowanej funkcji hazardu (analiza przeżycia)

Próbuję uzyskać intuicję dla każdej z głównych funkcji w nauce aktuarialnej (szczególnie dla modelu proporcjonalnych zagrożeń Coxa). Oto co mam do tej pory:

• $f(x)$ : począwszy od godziny rozpoczęcia, rozkład prawdopodobieństwa, kiedy umrzesz.
• $F(x)$ : tylko rozkład skumulowany. W chwili jaki procent populacji będzie martwy?$T$
• $S(x)$ : . W chwili jaki procent populacji będzie żył?$1-F(x)$$T$
• $h(x)$ : funkcja zagrożenia. W danym czasie , wciąż żyjących, można to wykorzystać do oszacowania, ilu ludzi umrze w następnym przedziale czasowym lub, jeśli w przedziale -> 0, „natychmiastowe” prawdopodobieństwo śmierci.$T$
• $H(x)$ : zagrożenie skumulowane. Brak pomysłu.

Jaka jest idea łączenia wartości zagrożenia, zwłaszcza gdy są one ciągłe? Jeśli użyjemy dyskretnego przykładu ze śmiertelnością w czterech porach roku, a funkcja hazardu wygląda następująco:

• Od wiosny wszyscy żyją, a 20% umrze
• Teraz w lecie spośród pozostałych 50% umrze
• Jesienią spośród pozostałych 75% umrze
• Ostatni sezon to zima. Z pozostałych 100% umrze

Zatem skumulowane zagrożenie wynosi 20%, 70%, 145%, 245%? Co to znaczy i dlaczego jest to przydatne?

Łączenie umierających proporcji nie powoduje skumulowanego ryzyka. Współczynnik ryzyka w czasie ciągłym jest warunkowym prawdopodobieństwem, że w bardzo krótkim okresie nastąpi zdarzenie:

Zagrożenie skumulowane to całkowanie (chwilowe) współczynnika ryzyka na przestrzeni wieków / czasu. To jak sumowanie prawdopodobieństw, ale ponieważ jest bardzo mała, prawdopodobieństwa te są również małymi liczbami (np. Wskaźnik ryzyka śmierci może wynosić około 0,004 w wieku około 30). Współczynnik ryzyka zależy od tego, czy zdarzenie nie miało miejsca przed , więc dla populacji może sumować się powyżej 1.$\Delta t$$t$

Możesz spojrzeć na tabelę śmiertelności ludzi, chociaż jest to dyskretna formuła czasowa i spróbować zgromadzić .$m_x$

Jeśli używasz R, oto mały przykład przybliżenia tych funkcji na podstawie liczby zgonów w każdym rocznym przedziale wiekowym:

dx <-  c(3184L, 268L, 145L, 81L, 64L, 81L, 101L, 50L, 72L, 76L, 50L, 
         62L, 65L, 95L, 86L, 120L, 86L, 110L, 144L, 147L, 206L, 244L, 
         175L, 227L, 182L, 227L, 205L, 196L, 202L, 154L, 218L, 279L, 193L, 
         223L, 227L, 300L, 226L, 256L, 259L, 282L, 303L, 373L, 412L, 297L, 
         436L, 402L, 356L, 485L, 495L, 597L, 645L, 535L, 646L, 851L, 689L, 
         823L, 927L, 878L, 1036L, 1070L, 971L, 1225L, 1298L, 1539L, 1544L, 
         1673L, 1700L, 1909L, 2253L, 2388L, 2578L, 2353L, 2824L, 2909L, 
         2994L, 2970L, 2929L, 3401L, 3267L, 3411L, 3532L, 3090L, 3163L, 
         3060L, 2870L, 2650L, 2405L, 2143L, 1872L, 1601L, 1340L, 1095L, 
         872L, 677L, 512L, 376L, 268L, 186L, 125L, 81L, 51L, 31L, 18L, 
         11L, 6L, 3L, 2L)

x <- 0:(length(dx)-1) # age vector

plot((dx/sum(dx))/(1-cumsum(dx/sum(dx))), t="l", xlab="age", ylab="h(t)", 
     main="h(t)", log="y")
plot(cumsum((dx/sum(dx))/(1-cumsum(dx/sum(dx)))), t="l", xlab="age", ylab="H(t)", 
     main="H(t)")

Mam nadzieję że to pomoże.

Książka „Wprowadzenie do analizy przeżycia za pomocą Staty” (wydanie drugie) autorstwa Mario Clevesa zawiera dobry rozdział na ten temat.

Rozdział o książkach Google można znaleźć na str. 13–15. Ale radziłbym przeczytać cały rozdział 2.

Oto krótki formularz:

• „mierzy całkowitą kwotę ryzyka zakumulowanego do czasu t” (s. 8)
• policz interpretację danych: „podaje, ile razy (matematycznie) spodziewalibyśmy się zaobserwować awarie [lub inne zdarzenia] w danym okresie, gdyby tylko zdarzenie awarii było powtarzalne” (s. 13)

Chciałbym _^Hazard przypuszczenie, że jest godny uwagi ze względu na jej stosowanie w działkach diagnostycznych:

$h(x)=\mathrm{e}^{\beta^\mathrm{T} z}h_0(x)$$\beta$$z$$h_0(x)$$\log H(x)=\beta^\mathrm{T} z + H_0(x)$$\log \hat{H}(x)$$x$

$h(x)=\frac{\alpha}{\theta}\left(\frac{x}{\theta}\right)^{\alpha-1}$$\theta$$\alpha$$\log H(x) = \alpha \log x - \alpha \log \theta$$\log \hat{H}(x)$$\log x$$\hat{\alpha}$$-\hat{\alpha}\log\hat{\theta}$, pod warunkiem, że założenie Weibulla jest prawidłowe. I oczywiście nachylenie w pobliżu 1 sugeruje, że model wykładniczy może pasować.

$H(x)$$x$

Parafrazując to, co mówi @Scortchi, chciałbym podkreślić, że funkcja kumulatywnego hazardu nie ma dobrej interpretacji i jako taka nie próbowałabym używać jej jako sposobu interpretacji wyników; powiedzenie badaczowi niebędącemu statystyką, że skumulowane zagrożenia są różne, najprawdopodobniej da odpowiedź „mm-hm”, a wtedy już nigdy nie zapytają o przedmiot, i to nie w dobry sposób.

Jednak skumulowana funkcja hazardu okazuje się bardzo przydatna matematycznie, na przykład jako ogólny sposób powiązania funkcji hazardu z funkcją przetrwania. Dlatego ważne jest, aby wiedzieć, czym jest skumulowane zagrożenie i jak można je wykorzystać w różnych metodach statystycznych. Ale ogólnie rzecz biorąc, nie sądzę, że szczególnie przydatne jest myślenie o rzeczywistych danych w kategoriach skumulowanych zagrożeń.