Hipoteza zerowa równoważności

11

Załóżmy że są prostą losową próbką z rozkładu Normal .X1,X2,...,Xn(μ,σ2)

Jestem zainteresowany przeprowadzeniem następującego testu hipotez: dla danej stałej .

H0:|μ|cH1:|μ|>c,
c>0

Myślałem o przeprowadzeniu dwóch jednostronnych testów (TOST) w analogiczny sposób, jak w zwykłej sytuacji testowania równoważności biologicznej, gdzie zero jest , ale nie wiem, czy to ma sens, czy jest poprawne.t|μ|c

Moim pomysłem jest wykonanie testów jednostronnych oraz i odrzuć globalną hipotezę zerową, jeśli jedna z wartości jest mniejsza niż poziom istotności

H01:μcH11:μ>c
H02:μcH12:μ<c,
pα .

Z góry dziękuję!

EDYTOWAĆ:

Zastanawiałem się przez chwilę i myślę, że zaproponowane przeze mnie podejście nie ma poziomu istotności α .

Załóżmy, że prawdziwa wartość μ wynosi μ0 i że σ2 jest znane.

Prawdopodobieństwo odrzucenia wartości zerowej w pierwszym teście wynosi gdzieΦjeśli standardowe cdf rozkładu normalnego, az1-αjest wartością taką, żeΦ(z1-α)=1-α.

Pμ0(Rej.H01)=1Φ(z1α+cμ0σ/n),
Φz1αΦ(z1α)=1α

Jeżeli , P μ 0 ( R e j . H 01 ) = α . Następnie, jeśli μ 0 > c , P μ 0 ( R e j . H 01 ) > α . Alternatywnie, jeżeli μ 0 < c , P μ 0 ( R e j . H 01 ) < α .μ0=cPμ0(Rej.H01)=αμ0>cPμ0(Rej.H01)>αμ0<cPμ0(Rej.H01)<α

Prawdopodobieństwo odrzucenia wartości zerowej w drugim teście wynosi

Pμ0(Rej.H02)=Φ(z1αμ0+cσ/n).

Ponownie, jeśli mamy P μ 0 ( R e j . H 02 ) = α . Podobnie, jeśli μ 0 > - c , P μ 0 ( R e j . H 02 ) < α . Wreszcie, jeśli μ 0 < - c , P μ 0 ( R e j . H 02μ0=cPμ0(Rej.H02)=αμ0>cPμ0(Rej.H02)<αμ0<c .Pμ0(Rej.H02)>α

Ponieważ regiony odrzucenia dwóch testów są rozłączne, prawdopodobieństwo odrzucenia wynosi: P μ 0 ( R e j . H 0 ) = 1 - Φ ( z 1 - α + c - μ 0H0

Pμ0(Rej.H0)=1Φ(z1α+cμ0σ/n)+Φ(z1αμ0+cσ/n)

Zatem jeśli , 2 α jest górną granicą prawdopodobieństwa odrzucenia (globalnej) hipotezy zerowej. Dlatego zaproponowane przeze mnie podejście było zbyt liberalne.μ[c,c]2α

Jeśli się nie mylę, możemy osiągnąć poziom istotności , wykonując te same dwa testy i odrzucając wartość zerową, jeśli wartość p jednego z nich jest mniejsza niż α / 2 . Podobny argument obowiązuje, gdy wariancja jest nieznana i musimy zastosować test t .αpα/2t

Vic101
źródło
Edycja jest na dobrej drodze :-).
whuber

Odpowiedzi:

3

Bardzo interesujące pytanie !!

Używasz logicznej konsekwencji, tj. Warunku uwarunkowania. Ten warunek uwarunkowania stanowi podstawę logiki klasycznej, gwarantuje wnioskowanie lub odjęcie wyniku z przesłanki.

Uzasadnienie tej propozycji jest następujące:

Jeśli pociąga za sobą H 0 , wówczas zaobserwowane dane powinny wyciągnąć więcej dowodów przeciwko H 0 niż H 0 .H0H0H0H0

H01H02H0H01H02H0H01H0H02H0H01H02H01H02H0

Jednak to logiczne rozumowanie nie dotyczy wartości p, tzn. Wartości p nie uwzględniają logicznej konsekwencji. Każda wartość p jest budowana na podstawie określonej hipotezy zerowej, dlatego wartości p dla różnych hipotez zerowych są obliczane na podstawie różnych miar. Z tego powodu wartości p nie mogą być zgodne z logicznym rozumowaniem w przestrzeni parametrów (lub przestrzeni hipotez zerowych).

n=1σ2=1

Patriota (2013) proponuje nową miarę dowodów w celu przetestowania ogólnych hipotez zerowych (złożonych lub prostych hipotez zerowych), które uwzględniają logiczną konsekwencję. Ta miara nazywa się w artykule wartością s. Procedura jest stosunkowo prosta dla twojego przykładu:

  1. αμI(μ,α)=[x¯zα/2s2n ; x¯+zα/2s2n]x¯s2zα/2α/2n

  2. αI(μ,α){c,c}[c,c]αs

  3. x¯[c,c]H0:|μ|csx¯[c,c]H0s-wartość jest wystarczająco mała, aby można było odrzucić null. W przeciwnym razie nie należy odrzucać ani akceptować wartości zerowej.

x¯[c,c]sx¯x¯[c,c]sx¯. Spróbuj narysować obraz przedstawiający przedział ufności i zerową hipotezę zainteresowania, aby lepiej zrozumieć wnioski. Więcej informacji można znaleźć w oryginalnej pracy Patriota (2013).

sc=1000x¯=1s2=1n=10000[0.9, 1.1][1000, 1000]H0:|μ|c

Bibliografia:

Patriota, AG (2013). Klasyczna miara dowodów dla ogólnych hipotez zerowych, Zestawy i systemy rozmyte, 233, 74–88

Schervish, MJ (1996). Wartości P: Czym są, a czym nie są, The American Statistician, 50, 203–206.

Alexandre Patriota
źródło