Porównanie AIC modelu i jego wersji przekształconej w log

Istota mojego pytania brzmi:

Niech będzie wielowymiarową normalną zmienną losową ze średnią i macierzą kowariancji . Niech , tj. . Jak porównać AIC modelu dopasowanego do obserwowanych realizacji z modelem dopasowanym do obserwowanych realizacji ? μ Σ Z : = log ( Y ) Z i = log ( Y i ) , i ∈ { 1 , … , n } Y $Y \in \mathbb{R}^n$$\mu$$\Sigma$$Z := \log(Y)$$Z_i = \log(Y_i), i \in \{1,\ldots,n\}$$Y$$Z$

---

---

Moje początkowe i nieco dłuższe pytanie:

Niech $Y \sim \mathcal{N}(\mu,\Sigma)$ będzie wielowymiarową normalną zmienną losową. Jeśli chcę porównać model dopasowany do $Y$ i model dopasowany do $\log(Y)$ , mógłbym spojrzeć na ich prawdopodobieństwa dziennika. Ponieważ jednak modele te nie są zagnieżdżone, nie mogę bezpośrednio porównywać prawdopodobieństwa dziennika (i innych rzeczy, takich jak AIC itp.), Ale muszę je przekształcić.

Wiem, że jeśli $X_1,\ldots,X_n$ są zmiennymi losowymi ze wspólnym pdf $g(x_1,\ldots,x_n)$ i jeśli $Y_i = t_i(X_1,\ldots,X_n)$ dla przekształceń jeden-do-jednego $t_i$ i $i \in \{1,\ldots,n\}$ , a następnie PDF jest podane przez f ( y 1 , … , y n ) = g ( t - 1 1 ( y ) , … , t - 1 n ( y ) ) det ( J ) gdzie J jest jakobianem związanym z transformacją.$Y_1,\ldots,Y_n$

$$f(y_1,\ldots,y_n)=g(t_1^{-1}(y),\ldots,t_n^{-1}(y))\det(J)$$ $J$

Czy muszę po prostu użyć reguły transformacji do porównania

do l ( log ( Y ) ) = log ( n ∏ i = 1 ϕ ( log ( y i ) ; μ , Σ )

$$l(Y) = \log(\prod_{i=1}^{n}\phi(y_i;\mu,\Sigma))$$ $$l(\log(Y))=\log(\prod_{i=1}^{n}\phi(\log(y_i);\mu,\Sigma))$$

czy jest coś jeszcze, co mogę zrobić?

---

[edytuj] Nie pamiętam umieszczać logarytmów w dwóch ostatnich wyrażeniach.

$Y$$Z$

Badacze powinni upewnić się, że wszystkie hipotezy są modelowane przy użyciu tej samej zmiennej odpowiedzi (np. Gdyby cały zestaw modeli był oparty na log (y), nie powstałby żaden problem; to mieszanie zmiennych odpowiedzi jest niepoprawne).

Nawiasem mówiąc, do korzystania z kryteriów AIC lub BIC, twoje modele nie muszą być koniecznie zagnieżdżone (ten sam odnośnik, strona 88, sekcja 2.12.4 Modele nienested), a właściwie to jedna z zalet korzystania z BIC.

$log\{y(n)+1\}$$\cdot \sum log\{y(n)+1\}$$n = 1,2, ..., N$

Akaike, H. 1978. „O prawdopodobieństwie modelu szeregów czasowych”, Journal of the Royal Statistics Society, Series D (The Statistician), 27 (3/4), s. 217–235.