Ogon graniczy z normą euklidesową dla równomiernego rozkładu na

Jakie są znane górne granice tego, jak często norma euklidesowa jednolicie wybranego elementu będzie większy niż podany próg?$\:\{-n,~-(n-1),~...,~n-1,~n\}^d\:$

Interesują mnie głównie granice, które zbiegają się wykładniczo do zera, gdy jest znacznie mniejsze niż .$n$$d$

Intuicyjnie powinno być oczywiste, że punkt, którego współrzędne są losowo próbkowane z rozkładu równomiernego, powinien mieć mały moduł z powodu przekleństwa wymiarowości. Jako zwiększa prawdopodobieństwo, że punkt próbki losowo z objętości jednostkę wymiarową piłkę będzie miała odległość mniejszą niż lub równą od środka jest , które gwałtownie spada szybko.d ϵ ϵ $d$$d$$\epsilon$$\epsilon^{d}$

Dam pełną wersję rozwiązania kardynała.

Niech będzie jedną niezależną kopią dyskretnego, jednolitego rozkładu na liczbach całkowitych . Oczywiście, , i łatwo obliczyć, że - n ⩽ k ⩽ n E [ X ] = 0 Var ( X i ) = n ( n + 1 $X_i$$-n \leqslant k \leqslant n$$\mathbb{E}[X] = 0$$\text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

Przypomnij sobie, że i że Var ( X 2 i ) = E [ X 4 i ] - E [ X 2 i ] $\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) + \mathbb{E}[X_i]^2$$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2$

Zatem$\mathbb{E}[X_i^2] = \text{Var}(X_i) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\text{Var}(X_i^2) = \mathbb{E}[X_i^4] - \mathbb{E}[X_i^2]^2 = \frac{n(n+1)(3n^2 + 3n + 1)}{15} - \left( \frac{n(n+1)}{3} \right)^2$

$\mathbb{E}[X_i^4]$Obliczenie

Niech$Y_i = X_i^2$

Skończę to jutro, ale widać, że ta zmienna ma średnią wartość około , podczas gdy mniej niż część punktów ma odległości mniejsze niż połowa maksymalnej odległości 2-ddn$\frac{n^2}{3}$$2^{-d}$$\frac{dn^2}{2}$

Jeśli wszystkie podążają za niezależnymi dyskretnymi mundurami w stosunku do , to ponieważ do wyboru są wartości a ich średnia wynosi 0, mamy dla wszystkich : [ - n , n ] 2 n + 1 $X_i$$[-n, n]$$2n+1$$i$

$\mathbb{E}(X_i)= 0$ i

$\mathbb{V}(X_i)= \mathbb{E}\left((X_i - \mathbb{E}(X_i))^2\right)= \mathbb{E}(X_i^2)= \frac{(2n+1)^2 - 1}{12}= \frac{n(n+1)}{3}$

Zatem jeśli jest kwadratową normą euklidesową wektora , a ze względu na niezależność :( X 1 , X 2 , . . . X d ) X $S$$(X_1, X_2, ... X_d)$$X_i$

$S= \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S)= \sum_{i=1}^d \mathbb{E}(X_i^2) = d \frac{n(n+1)}{3}$

Odtąd możesz użyć nierówności Markowa:$\forall a >0, \mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{1}{a}\mathbb{E}(S)$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{d}{a}\frac{n(n+1)}{3}$

Ta granica wzrasta wraz z , co jest normalne, ponieważ gdy wzrasta , norma euklidesowa staje się większa w porównaniu do ustalonego progu .d $d$$d$$a$

Teraz, jeśli zdefiniujesz jako „znormalizowaną” normę do kwadratu (która ma tę samą oczekiwaną wartość, bez względu na to, jak duże ), otrzymasz:$S^*$$d$

$S^*= \frac{1}{d} Y = \frac{1}{d} \sum_{i=1}^d X_i^2$

$\mathbb{E}(S^*) = \frac{n(n+1)}{3}$

$\mathbb{P}(S \geq a) \leq \frac{n(n+1)}{3a}$

Przynajmniej ta granica nie rośnie wraz z , ale wciąż daleko jej do rozwiązania poszukiwania wykładniczo malejącej granicy! Zastanawiam się, czy może to być spowodowane słabością nierówności Markowa ...$d$

Myślę, że powinieneś sprecyzować swoje pytanie, ponieważ, jak wspomniano powyżej, średnia euklidesowa norma twoich wektorów liniowo wzrasta , więc jest bardzo mało prawdopodobne, aby znaleźć górną granicę dla która maleje ze stałym progiem .P ( S > a ) d $d$$\mathbb{P}(S > a)$$d$$a$