Pytanie o ważenie wariancji odwrotnej

9

Załóżmy, że chcemy wnioskować na podstawie nieobserwowanej realizacji losowej zmiennej , która normalnie jest dystrybuowana ze średnią i wariancją . Załóżmy, że istnieje inna zmienna losowa (której nieobserwowaną realizację podobnie nazywamy ), która jest normalnie dystrybuowana ze średnią i wariancją . Niech będzie kowariancją i .xx~μxσx2y~yμyσy2σxyx~y~

Załóżmy teraz, że obserwujemy sygnał na , gdzie i sygnał na , gdzie . Załóżmy, że i są niezależne.x

a=x+u~,
u~N(0,ϕx2)y
b=y+v~,
v~N(0,ϕy2)u~v~

Jaki jest rozkład zależny od i ?xab

Co wiem do tej pory: Używając odwrotnej wagi wariancji, i

E(x|a)=1σx2μx+1ϕx2a1σx2+1ϕx2,
Var(x|a)=11σx2+1ϕx2.

Ponieważ i są wspólnie wyciągnąć, powinny mieć przy sobie informacje o . Poza uświadomieniem sobie tego, utknąłem. Każda pomoc jest mile widziana!xybx

bad_at_math
źródło
To wygląda dokładnie tak, jak kilka pierwszych kroków na temat wyprowadzenia filtra Kalmana. Możesz spojrzeć na pochodne i pomyśleć o zysku Kalmana dla aktualizacji oszacowania kowariancji stanu. cs.unc.edu/~welch/media/pdf/kalman_intro.pdf
EngrStudent
Dziękuję za odpowiedź! Przeczytałem dokument w twoim linku, ale nie widzę związku z filtrowaniem Kalmana. Czy jest jakaś szansa na opracowanie? Doceniam pomoc!
bad_at_math
2
@EngrStudent Jeśli PO nie jest zaznajomiony z filtrem Kalmana, nie rozumiem, jak to będzie bardzo pomocne. Być może mógłbyś zamiast tego wyjaśnić, jak podejść do problemu, nie powołując się na żadną konkretność (lub żargon) związaną z KF, chociaż być może wykorzystując twoją wiedzę na ten temat, aby pokierować odpowiedzią na szczegóły tutaj.
Glen_b
Przeniesiony na math.SE tutaj
Glen_b

Odpowiedzi:

2

Nie jestem pewien, czy obowiązują tu wzory ważenia odwrotnej wariancji. Myślę jednak, że można obliczyć rozkład warunkowy dla i , zakładając, że , , i podążają za wspólnym wielowymiarowym rozkładem normalnym.xabxyab

W szczególności, jeśli założymy (zgodnie z tym, co podano w pytaniu), że następnie, pozwalając i , możesz to znaleźć

[xyuv]N([μxμy00],[σx2σxy00σxyσy20000ϕx20000ϕy2])
a=x+ub=y+v
[xab]N([μxμxμy],[σx2σx2σxyσx2σx2+ϕx2σxyσxyσxyσy2+ϕy2]).
(Zauważ, że w powyższym domyślnie zakłada się, że i są niezależne między sobą, a także i .)uvxy

Na tej podstawie można znaleźć rozkład warunkowy danego i przy użyciu standardowych właściwości wielowymiarowego rozkładu normalnego (patrz tutaj na przykład: http://en.wikipedia.org/wiki/Multivariate_normal_distribution#Conditional_distribution ).xab

a. arfe
źródło