Jaka jest suma kwadratowych zmiennych t?

Niech zostanie narysowany na podstawie rozkładu t Studenta z stopniami swobody, dla średniej wielkości (powiedzmy mniej niż 100). Zdefiniuj Czy rozłożone prawie jak chi-kwadrat o stopniach swobody? Czy istnieje coś takiego jak Centralne Twierdzenie Graniczne dla sumy kwadratowych zmiennych losowych?$t_i$$n$$n$

Odpowiadając na pierwsze pytanie.

Możemy zacząć od faktu odnotowanego przez mpiktas, że . A potem spróbuj najpierw prostszego kroku - poszukaj rozkładu sumy dwóch zmiennych losowych dystrybuowanych przez . Można tego dokonać albo przez obliczenie splotu dwóch zmiennych losowych, albo przez obliczenie iloczynu ich charakterystycznych funkcji.F ( 1 , n $t^2 \sim F(1, n)$$F(1,n)$

Artykuł pokazy PCB Phillips, że moje pierwsze przypuszczenie o „[confluent] hipergeometryczny funkcji” zaangażowanych było prawdą. Oznacza to, że rozwiązanie nie będzie trywialne, a brutalna siła jest skomplikowana, ale jest warunkiem koniecznym do udzielenia odpowiedzi na twoje pytanie. Ponieważ jest stałe, a podsumowując rozkłady t, nie jesteśmy pewni, jaki będzie ostateczny wynik. Chyba że ktoś ma dobrą umiejętność zabawy z produktami zlewających się funkcji hipergeometrycznych.$n$

To nie jest nawet bliskie zbliżenie. Dla małego oczekiwanie T równe jest k $n$$T$ podczas gdy oczekiwanieχ2(k)jest równek. Kiedykjest małe (powiedzmy mniej niż 10), histogramylog(T)ilog(χ2(k))nawet nie mają tego samego kształtu, co wskazuje, że przesuwanie i przeskalowanieTnadal nie będzie działać.$\frac{k n}{n-2}$$\chi^2(k)$$k$$k$$\log(T)$$\log(\chi^2(k))$$T$

Intuicyjnie, dla małych stopni swobody, Studenta jest gruboogoniasty. Kwadrat to podkreśla tę ciężkość. Sumy będą zatem bardziej wypaczone - zwykle znacznie bardziej wypaczone - niż sumy kwadratów normalnych ( rozkład χ 2 ). Potwierdzają to obliczenia i symulacje.$t$$\chi^2$

Ilustracja (zgodnie z życzeniem)

Każdy histogram przedstawia niezależną symulację 100 000 prób z określonymi stopniami swobody ( ) i sumami ( k ), standaryzowanymi zgodnie z opisem @mpiktas. Wartość n = 9999 w dolnym rzędzie jest zbliżona do przypadku χ 2 . W ten sposób można porównać T do χ 2 , skanując każdą kolumnę.$n$$k$$n=9999$$\chi^2$$T$$\chi^2$

Zauważ, że standaryzacja nie jest możliwa dla ponieważ odpowiednie momenty nawet nie istnieją. Brak stabilności kształtu (podczas skanowania od lewej do prawej w dowolnym rzędzie lub od góry do dołu w dół dowolnej kolumny) jest jeszcze bardziej zaznaczony dla n ≤ 4 .$n \lt 5$$n \le 4$

Odpowiem na drugie pytanie. Twierdzenie o granicy centralnej dotyczy dowolnej sekwencji iid, kwadratowej lub kwadratowej. Więc w twoim przypadku, jeśli jest wystarczająco duże, mamy$k$

$\dfrac{T-kE(t_1)^2}{\sqrt{kVar(t_1^2)}}\sim N(0,1)$

gdzie i V a r ( t 2 1 ) jest odpowiednio średnią i wariancją kwadratowego rozkładu t Studenta z$Et_1^2$$Var(t_1^2)$ stopni swobody. Zauważ, że t 2 1 jest podzielony jako rozkład F z 1 i n stopniami swobody. Możemy więc pobrać wzory na średnią i wariancję zestrony wikipedii. Ostateczny wynik to:$n$$t_1^2$$1$$n$

$\dfrac{T-k\frac{n}{n-2}}{\sqrt{k\frac{2n^2(n-1)}{(n-2)^2(n-4)}}}\sim N(0,1)$