Osiągalne korelacje dla wykładniczych zmiennych losowych

12

Jaki jest zakres możliwych do uzyskania korelacji dla pary wykładniczo rozkładanych zmiennych losowych i , gdzie to parametry stawki?X 2E x p ( λ 2 ) λ 1 , λ 2 > 0X1Exp(λ1)X2Exp(λ2)λ1,λ2>0

QuantIbex
źródło
1
To pytanie jest powiązane z bocznym komentarzem tutaj .
QuantIbex,

Odpowiedzi:

9

Niech ρmin (odpowiednio. ρmax ) oznacza dolną (względnie górną) granicę możliwej do uzyskania korelacji między X1 i X2 . Granice ρmin i ρmax są osiągane, gdy X1 i X2 są odpowiednio przeciwmotoniczne i comonotoniczne (patrz tutaj ).

Dolna granica
Aby wyznaczyć dolną granicę konstruujemy parę przeciwmotonicznych zmiennych wykładniczych i obliczamy ich korelację.ρmin

Niezbędny i wystarczający warunek wymieniony tutaj oraz całka prawdopodobieństwa transformacji zapewniają wygodny sposób konstruowania zmiennych losowych i taki sposób, że są one przeciwmotoniczne. Przypomnij sobie, że funkcją rozkładu wykładniczego jest , więc funkcją kwantylu jest .X 2 F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 - q )X1X2
F(x)=1exp(λx)F1(q)=λ1log(1q)

Niech będzie równomiernie rozmieszczonymi zmiennymi losowymi, następnie jest również równomiernie rozmieszczony, a zmienne losowe mają rozkład wykładniczy odpowiednio ze współczynnikiem i . Ponadto są przeciwmotoniczne, ponieważ i , a funkcje i odpowiednio zwiększają i zmniejszają.1 - U X 1 = - λ - 1 1 log ( 1 - U ) ,UU(0,1)1Uλ 1 λ 2 X 1 = h 1 ( U ) X 2 = h 2 ( U ) h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log ( 1 - x ) h 2 ( x ) = - λ - 1

X1=λ11log(1U),and X2=λ21log(U)
λ1λ2X1=h1(U)X2=h2(U)h1(x)=λ11log(1x)h2(x)=λ11log(x)

Teraz obliczmy korelację i . Według właściwości rozkładu wykładniczego mamy , , i . Mamy też gdzieX 2 E ( X 1 ) = λ - 1 1 E ( X 2 ) = λ - 1 2 v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 v a r ( X 2 ) = λ - 2 2 E ( X 1 X 2 )X1X2E(X1)=λ11E(X2)=λ21var(X1)=λ12var(X2)=λ22

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(U)}=λ11λ2101log(1u)log(u)fU(u)du=λ11λ2101log(1u)log(u)du=λ11λ21(2π26),
fU(u)1jest funkcją gęstości standardowego rozkładu jednostajnego. Ostatnią równość polegałem na WolframAlpha .

Tak więc Zauważ, że dolna granica nie zależy od stawek i , i że korelacja nigdy nie osiąga , nawet gdy oba marginesy są równe (tj. gdy ).

ρmin=corr(X1,X2)=λ11λ21(2π2/6)λ11λ21λ12λ22=1π2/60.645.
λ1λ21λ1=λ2

Górna granica
Aby wyznaczyć górną granicę stosujemy podobne podejście z parą komonotonicznych zmiennych wykładniczych. Teraz niech i gdzie i , które zwiększają funkcje. Zatem te losowe zmienne są comonotoniczne i rozkładają się wykładniczo ze współczynnikami i .ρmaxX1=g1(U)X2=g2(U)g1(x)=λ11log(1x)g2(x)=λ21log(1x)λ1λ2

Mamy a zatem Podobnie jak dolna granica, górna granica nie zależy od stawek i .

E(X1X2)=λ11λ21E{log(1U)log(1U)}=λ11λ2101{log(1u)}2du=2λ11λ21,
ρmax=corr(X1,X2)=2λ11λ21λ11λ21λ12λ22=1.
λ1λ2
QuantIbex
źródło
1
Dziękuję za twoje obliczenia. Chciałem tylko dodać, że można było znaleźć natychmiast, zauważając, że i są tego samego typu: ma rozkład , tj. taki sam rozkład . ρmax=1X1X2Exp(λ2)X2λ1λ2X1Exp(λ2)X2
user48713,
2
(+1). Zauważ, że górna granica jest oczywista po zaobserwowaniu dwóch zmiennych wykładniczych różniących się tylko współczynnikiem skali. Jest równie oczywiste, że dolna granica nie może osiągnąć gdy (w przeciwnym razie skośność wynosiłaby zero). λ 1λ 21λ1λ2
whuber