Osiągalne korelacje dla wykładniczych zmiennych losowych

Jaki jest zakres możliwych do uzyskania korelacji dla pary wykładniczo rozkładanych zmiennych losowych i , gdzie to parametry stawki?X 2 ∼ E x p ( λ 2 ) λ 1 , λ 2 > $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$$X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$$\lambda_1, \lambda_2 > 0$

Niech $\rho_{\min}$ (odpowiednio. $\rho_{\max}$ ) oznacza dolną (względnie górną) granicę możliwej do uzyskania korelacji między $X_1$ i $X_2$ . Granice $\rho_{\min}$ i $\rho_{\max}$ są osiągane, gdy $X_1$ i $X_2$ są odpowiednio przeciwmotoniczne i comonotoniczne (patrz tutaj ).

Dolna granica
Aby wyznaczyć dolną granicę konstruujemy parę przeciwmotonicznych zmiennych wykładniczych i obliczamy ich korelację.$\rho_{\min}$

Niezbędny i wystarczający warunek wymieniony tutaj oraz całka prawdopodobieństwa transformacji zapewniają wygodny sposób konstruowania zmiennych losowych i taki sposób, że są one przeciwmotoniczne. Przypomnij sobie, że funkcją rozkładu wykładniczego jest , więc funkcją kwantylu jest .X 2 F ( x ) = 1 - exp ( - λ x ) F - 1 ( q ) = - λ - 1 log ( 1 - q $X_1$$X_2$
$F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$$F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

Niech będzie równomiernie rozmieszczonymi zmiennymi losowymi, następnie jest również równomiernie rozmieszczony, a zmienne losowe mają rozkład wykładniczy odpowiednio ze współczynnikiem i . Ponadto są przeciwmotoniczne, ponieważ i , a funkcje i odpowiednio zwiększają i zmniejszają.1 - U X 1 = - λ - 1 1 log ( 1 - U ) $U\sim U(0, 1)$$1-U$λ 1 λ 2 X 1 = h 1 ( U ) X 2 = h 2 ( U ) h 1 ( x ) = - λ - 1 1 log ( 1 - x ) h 2 ( x ) = - λ -

$$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$X_1 = h_1(U)$$X_2 = h_2(U)$$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

Teraz obliczmy korelację i . Według właściwości rozkładu wykładniczego mamy , , i . Mamy też gdzieX 2 E ( X 1 ) = λ - 1 1 E ( X 2 ) = λ - 1 2 v a r ( X 1 ) = λ - 2 1 v a r ( X 2 ) = λ - 2 2 E ( X 1 X 2$X_1$$X_2$${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$$ $f_U(u) \equiv 1$jest funkcją gęstości standardowego rozkładu jednostajnego. Ostatnią równość polegałem na WolframAlpha .

Tak więc Zauważ, że dolna granica nie zależy od stawek i , i że korelacja nigdy nie osiąga , nawet gdy oba marginesy są równe (tj. gdy ).

$$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$$-1$$\lambda_1 = \lambda_2$

Górna granica
Aby wyznaczyć górną granicę stosujemy podobne podejście z parą komonotonicznych zmiennych wykładniczych. Teraz niech i gdzie i , które zwiększają funkcje. Zatem te losowe zmienne są comonotoniczne i rozkładają się wykładniczo ze współczynnikami i .$\rho_{\max}$$X_1 = g_1(U)$$X_2 = g_2(U)$$g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$$g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$$\lambda_1$$\lambda_2$

Mamy a zatem Podobnie jak dolna granica, górna granica nie zależy od stawek i .

$$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$$ $$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$$ $\lambda_1$$\lambda_2$