1. Problem
Mam pomiarów zmiennej , gdzie t = 1 , 2 , . . , N , na które mają rozkład f a t ( R t ) uzyskanej poprzez MCMC, który dla uproszczenia będzie zakładać, że jest to Gaussa o średniej μ T a zmienność σ 2 t .ytt = 1 , 2 , . . , nfayt( yt)μtσ2)t
Mam model fizyczny dla tych obserwacji, powiedzmy , ale reszty r t = μ t - g ( t ) wydają się być skorelowane; w szczególności mam fizyczne powody, by sądzić, że proces A R ( 1 ) wystarczy, aby uwzględnić korelację, i planuję uzyskać współczynniki dopasowania za pośrednictwem MCMC, dla których potrzebuję prawdopodobieństwa . Myślę, że rozwiązanie jest raczej proste, ale nie jestem całkiem pewien (wydaje się tak proste, że myślę, że czegoś mi brakuje).sol( t )rt= μt- g( t )A R ( 1 )
2. Wyprowadzenie prawdopodobieństwa
Zerowy proces można zapisać jako:
X t = ϕ X t - 1 + ε t , ( 1 )
gdzie przyjmę ε t ∼ N ( 0 , σ 2 w ) . Parametry do oszacowania to zatem θ = { ϕ , σ 2 w } (w moim przypadku muszę również dodać parametry modelu g ( t )A R ( 1 )
Xt= ϕ Xt - 1+ εt, ( 1 )
εt∼ N.( 0 , σ2)w)θ = { ϕ , σ2)w}sol( t ), ale to nie jest problem). Obserwuję jednak zmienną
której
zakładam, że
η t ∼ N ( 0 , σ 2 t ) , a
σ 2 t są znane (błędy pomiaru) . Ze względu
X t jest Gaussa proces
R t jest. W szczególności wiem, że
X 1 ∼ N ( 0 , σ 2 w /Rt= Xt+ ηt, ( 2 )
ηt∼ N.( 0 , σ2)t)σ2)tXtRt
zatem
R 1 ∼ N ( 0 , σ 2 w / [ 1 - ϕ 2 ] + σ 2 t ) .
Kolejnym wyzwaniem jest uzyskanie
R t | R t - 1 dla
t ≠ 1 . Aby uzyskać rozkład tej zmiennej losowej, zwróć uwagę, że za pomocą eq.
( 2 ) można zapisać
X tX1∼ N.( 0 , σ2)w/ [1- ϕ2)] ) ,
R1∼ N.( 0 , σ2)w/ [1- ϕ2)] + σ2)t) .
Rt| Rt - 1t ≠ 1( 2 )
Korzystanie z ekw.
(2)i przy użyciu definicji równania.
(1), umiem pisać,
R t = X t + η t =ϕ X t - 1 + ε t + η t .
Korzystanie z ekw.
(3)w tym ostatnim ekspresji, a następnie, to uzyskać,
R tXt - 1= Rt - 1- ηt - 1. ( 3 )
( 2 )( 1 )Rt= Xt+ ηt= ϕ Xt - 1+ εt+ ηt.
( 3 )
zatem
R t | R t - 1 = ϕ ( r t - 1 - η t - 1 ) + ε t + η t ,
a zatem
R t | R t - 1 ∼ N (Rt= ϕ ( Rt - 1- ηt - 1) + εt+ ηt,
Rt| Rt - 1= ϕ ( rt - 1- ηt - 1) + εt+ ηt,
Wreszcie, można zapisać jako funkcję prawdopodobieństwa
L ( θ ) = f R 1 ( R 1 = R 1 ) n Π t = 2 m R t | R t - 1 ( R t = r tRt| Rt - 1∼ N.( ϕ rt - 1, σ2)w+ σ2)t- ϕ2)σ2)t - 1) .
gdzie
f ( ⋅ ) to rozkłady zmiennych, które właśnie zdefiniowałem, .ie, definiując
σ ′ 2 = σ 2 w / [ 1 - ϕ 2 ] + σ 2 t , f R 1 ( R 1 = r 1 ) = 1L ( θ ) = fR1( R1= r1) ∏t = 2nfaRt| Rt - 1( Rt= rt| Rt - 1= rt - 1) ,
fa( ⋅ )σ′ 2= σ2)w/ [1- ϕ2)] + σ2)t,
oraz określenie
σ2(t)=σ 2 wagowo +σ 2 t -cp2Ď 2 t - 1 ,
MRt| Rt-1(Rt=rt|Rt-1=rt-1)=1fR1(R1=r1)=12πσ′2−−−−−√exp(−r212σ′2),
σ2(t)=σ2w+σ2t−ϕ2σ2t−1fRt|Rt−1(Rt=rt|Rt−1=rt−1)=12πσ2(t)−−−−−−√exp(−(rt−ϕrt−1)22σ2(t))
3. Pytania
- Czy moje pochodzenie jest w porządku? Nie mam żadnych zasobów do porównania poza symulacjami (które wydają się zgadzać) i nie jestem statystykiem!
- MA(1)ARMA(1,1)ARMA(p,q)
Odpowiedzi:
źródło
Szczerze mówiąc, powinieneś zakodować to w BŁĘDACH lub STAN i nie martw się o to stamtąd. Chyba że jest to pytanie teoretyczne.
źródło