Proces AR (1) z heteroscedastycznymi błędami pomiaru

13

1. Problem

Mam pomiarów zmiennej , gdzie t = 1 , 2 , . . , N , na które mają rozkład f a t ( R t ) uzyskanej poprzez MCMC, który dla uproszczenia będzie zakładać, że jest to Gaussa o średniej μ T a zmienność σ 2 t .ytt=1,2,..,nfyt(yt)μtσt2

Mam model fizyczny dla tych obserwacji, powiedzmy , ale reszty r t = μ t - g ( t ) wydają się być skorelowane; w szczególności mam fizyczne powody, by sądzić, że proces A R ( 1 ) wystarczy, aby uwzględnić korelację, i planuję uzyskać współczynniki dopasowania za pośrednictwem MCMC, dla których potrzebuję prawdopodobieństwa . Myślę, że rozwiązanie jest raczej proste, ale nie jestem całkiem pewien (wydaje się tak proste, że myślę, że czegoś mi brakuje).g(t)rt=μtg(t)AR(1)

2. Wyprowadzenie prawdopodobieństwa

Zerowy proces można zapisać jako: X t = ϕ X t - 1 + ε t , ( 1 ) gdzie przyjmę ε tN ( 0 , σ 2 w ) . Parametry do oszacowania to zatem θ = { ϕ , σ 2 w } (w moim przypadku muszę również dodać parametry modelu g ( t )AR(1)

Xt=ϕXt1+εt,   (1)
εtN(0,σw2)θ={ϕ,σw2}g(t), ale to nie jest problem). Obserwuję jednak zmienną której zakładam, że η tN ( 0 , σ 2 t ) , a σ 2 t są znane (błędy pomiaru) . Ze względu X t jest Gaussa proces R t jest. W szczególności wiem, że X 1N ( 0 , σ 2 w /
Rt=Xt+ηt,   (2)
ηtN(0,σt2)σt2XtRt zatem R 1N ( 0 , σ 2 w / [ 1 - ϕ 2 ] + σ 2 t ) . Kolejnym wyzwaniem jest uzyskanie R t | R t - 1 dla t 1 . Aby uzyskać rozkład tej zmiennej losowej, zwróć uwagę, że za pomocą eq. ( 2 ) można zapisać X t
X1N(0,σw2/[1ϕ2]),
R1N(0,σw2/[1ϕ2]+σt2).
Rt|Rt1t1(2) Korzystanie z ekw. (2)i przy użyciu definicji równania. (1), umiem pisać, R t = X t + η t =ϕ X t - 1 + ε t + η t . Korzystanie z ekw. (3)w tym ostatnim ekspresji, a następnie, to uzyskać, R t
Xt1=Rt1ηt1.   (3)
(2)(1)
Rt=Xt+ηt=ϕXt1+εt+ηt.
(3) zatem R t | R t - 1 = ϕ ( r t - 1 - η t - 1 ) + ε t + η t , a zatem R t | R t - 1N (
Rt=ϕ(Rt1ηt1)+εt+ηt,
Rt|Rt1=ϕ(rt1ηt1)+εt+ηt,
Wreszcie, można zapisać jako funkcję prawdopodobieństwa L ( θ ) = f R 1 ( R 1 = R 1 ) n Π t = 2 m R t | R t - 1 ( R t = r t
Rt|Rt1N(ϕrt1,σw2+σt2ϕ2σt12).
gdzie f ( ) to rozkłady zmiennych, które właśnie zdefiniowałem, .ie, definiując σ 2 = σ 2 w / [ 1 - ϕ 2 ] + σ 2 t , f R 1 ( R 1 = r 1 ) = 1
L(θ)=fR1(R1=r1)t=2nfRt|Rt1(Rt=rt|Rt1=rt1),
f()σ2=σw2/[1ϕ2]+σt2, oraz określenieσ2(t)=σ 2 wagowo +σ 2 t -cp2Ď 2 t - 1 , MRt| Rt-1(Rt=rt|Rt-1=rt-1)=1
fR1(R1=r1)=12πσ2exp(r122σ2),
σ2(t)=σw2+σt2ϕ2σt12
fRt|Rt1(Rt=rt|Rt1=rt1)=12πσ2(t)exp((rtϕrt1)22σ2(t))

3. Pytania

  1. Czy moje pochodzenie jest w porządku? Nie mam żadnych zasobów do porównania poza symulacjami (które wydają się zgadzać) i nie jestem statystykiem!
  2. MA(1)ARMA(1,1)ARMA(p,q)
Néstor
źródło
Dokładnie nie mam dla ciebie rozwiązania. Ale myślę, że jest to rodzaj problemu z błędami w zmiennych. Widziałem to w Teorii makroekonomicznej Thomasa Sergenta (książka z lat 80-tych). Możesz na to spojrzeć.
Metryki
Dzięki za wkład, @Metrics. Sprawdzę książkę!
Néstor

Odpowiedzi:

1
  1. RtRt1ϕrt1ϕx^t1x^t1Xx^t1rt1σwϕXσηRX

  2. σηZ=1d=c=0Ht=ση,t2T=ϕR=1Q=σw2

Jamie Hall
źródło
XtRtRt|Rt1=rt1Rt|Xt1=xt1ϕx^t1
Cześć Nestor, zredagowałem odpowiedź, aby odpowiedzieć na twoje komentarze. Mam nadzieję, że to pomaga.
Jamie Hall
Cześć Jamie: o drugim punkcie, w porządku, dzięki :-)! Nadal jednak nie widzę twojego pierwszego punktu. Czy możesz wskazać mi formalne pochodzenie? W szczególności chciałbym wiedzieć, która część mojego rozumowania jest błędna (i dlaczego)!
Néstor
X1R1N(σx,12(σx,12+ση,12)r1,σx,22)σx,12σx,22σx,12ση,12p(Xt1|R1:t1)
-1

Szczerze mówiąc, powinieneś zakodować to w BŁĘDACH lub STAN i nie martw się o to stamtąd. Chyba że jest to pytanie teoretyczne.

DavidShor
źródło
2
(-1) Na tę odpowiedź; to jest pytanie teoretyczne ;-). Zastanów się, dlaczego nie uważasz, że powinienem kodować go w BŁĘDACH lub STANU i co ma to wspólnego z pierwotnym pytaniem?
Néstor