Korelacja losowych zmiennych logarytmicznych

16

Biorąc pod uwagę normalne zmienne losowe X1 i X2 ze współczynnikiem korelacji ρ , jak znaleźć korelację między kolejnymi logarytmicznymi zmiennymi losowymi Y1 i Y2 ?

Y1=a1exp(μ1T+TX1)

Y2=a2exp(μ2T+TX2)

Teraz, jeśli X1=σ1Z1 i X2=σ1Z2 , gdzie Z1 i Z2 są normalnymi normami, z właściwości transformacji liniowej otrzymujemy:

Y1=a1exp(μ1T+Tσ1Z1)

Y2=a2exp(μ2T+Tσ2(ρZ1+1ρ2Z2)

Jak przejść stąd, aby obliczyć korelację między a Y 2 ?Y1Y2

użytkownik862
źródło
@ user862, wskazówka: użyj funkcji charakterystycznej dla dwuwymiarowej normalnej.
mpiktas
2
Zobacz równanie (11) w stuart.iit.edu/shared/shared_stuartfaculty/whitepapers/... (ale uważaj na okropne składanie).
whuber

Odpowiedzi:

19

Zakładam, że i X 2N ( 0 , σ 2 2 ) . Oznacz Z i = exp ( X1N(0,σ12)X2N(0,σ22). NastępnieZi=exp(TXi)

więcZilog-normalne. A zatem

log(Zi)N(0,Tσi2)
Zi

i E Y i

EZi=exp(Tσi22)var(Zi)=(exp(Tσi2)1)exp(Tσi2)
EYi=aiexp(μiT)EZivar(Yi)=ai2exp(2μiT)var(Zi)

Następnie korzystając ze wzoru na mgf wielowymiarowej normy mamy

So cov(Y1,Y2)

EY1Y2=a1a2exp((μ1+μ2)T)Eexp(TX1+TX2)=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(12T(σ12+2ρσ1σ2+σ22))
cov(Y1,Y2)=EY1Y2EY1EY2=a1a2exp((μ1+μ2)T)exp(T2(σ12+σ22))(exp(ρσ1σ2T)1)

Y1Y2

ρY1Y2=exp(ρσ1σ2T)1(exp(σ12T)1)(exp(σ22T)1)
mpiktas
źródło
Note that as long as the approximation ex1+x is valid on the final formula found above one has ρY1Y2ρ.
danbarros