Przykład ścisłej nierówności von Neumanna

Niech oznacza ryzyko Bayesa estymatora w odniesieniu do wcześniejszego , niech oznacza zbiór wszystkich priorów w przestrzeni parametrów , a niech oznacza zbiór wszystkie (ewentualnie losowe) reguły decyzyjne.δ π Π Θ $r(\pi, \delta)$$\delta$$\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$

Stwierdza to statystyczna interpretacja nierówności minimax Johna von Neumanna

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

ze ścisłą równością gwarantowaną dla niektórych $\delta'$ i $\pi'$ gdy $\Theta$ i $\Delta$ są skończone.

Czy ktoś może podać konkretny przykład, w którym nierówność jest ścisła?

Przykład ścisłej nierówności von Neumanna występuje, gdy funkcja ryzyka spełnia następujące warunki dla niektórych wartości (gdzie pierwsza wartość jest „niska”, a druga „wysoka”):r 0 < r $r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

Pierwszy warunek mówi, że niezależnie od wcześniejszego, zawsze istnieje reguła decyzyjna o niskim ryzyku , która daje . Drugi warunek mówi, że bez względu na regułę decyzyjną zawsze istnieje uprzednie ryzyko , co daje .sup π ∈ Π inf δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r 0 r 1 inf π ∈ Π sup δ ∈ Δ r ( π , δ ) = r $r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

Innym sposobem stwierdzenia tej sytuacji jest to, że nie ma reguły decyzyjnej (wybranej przed spotkaniem z przełożonym), która gwarantowałaby niskie ryzyko dla każdego przejęcia (czasami będzie to miało wysokie ryzyko), ale dla każdego z nich istnieje pewna reguła decyzji (wybrana po obejrzeniu wcześniej), która gwarantuje niskie ryzyko. Innymi słowy, aby nałożyć dolną granicę na ryzyko, musimy dostosować zasadę decyzji do wcześniejszej .

---

Przykład: Prosty przykład tego rodzaju sytuacji występuje, gdy masz parę dozwolonych i parę dopuszczalnych reguł decyzyjnych z macierzą ryzyka taką jak ta:δ 0 , $\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

W tym przypadku nie ma reguły decyzyjnej gwarantującej niskie ryzyko w stosunku do obu priorów, ale dla każdego z nich istnieje reguła decyzyjna o niskim ryzyku. Ta sytuacja spełnia powyższe warunki, co powoduje ścisłą nierówność w nierówności von Neumanna.