Łatwo jest stworzyć zmienną losową z rozkładem Dirichleta przy użyciu zmiennych Gamma o tym samym parametrze skali. Gdyby:
Następnie:
Problem Co się stanie, jeśli parametry skali nie będą równe?
Więc jaki jest rozkład tej zmiennej?
Dla mnie wystarczyłoby znać oczekiwaną wartość tego rozkładu.
Potrzebuję przybliżonej zamkniętej formuły algebraicznej, która może być bardzo szybko oceniona przez komputer.
Powiedzmy, że przybliżenie z dokładnością 0,01 jest wystarczające.
Możesz założyć, że:
Uwaga W skrócie, zadaniem jest znalezienie przybliżenia tej całki:
Odpowiedzi:
Tylko wstępna uwaga, jeśli chcesz prędkości obliczeniowej, zwykle musisz poświęcić dokładność. „Większa dokładność” = „Ogólnie więcej czasu”. W każdym razie jest to przybliżenie drugiego rzędu, powinno poprawić się w stosunku do „przybliżonego” przybliżenia zasugerowanego w powyższym komentarzu:
EDIT An explanation for the above expansion was requested. The short answer is wikipedia. The long answer is given below.
writef(x,y)=xy . Now we need all the "second order" derivatives of f . The first order derivatives will "cancel" because they will all involve multiples X−E(X) and Y−E(Y) which are both zero when taking expectations.
And so the taylor series up to second order is given by:
Taking expectations yields:
Which is the answer I gave. (although I initially forgot the minus sign in the second term)
źródło