Dość często spotykam się z terminem „rozwiązanie w formie zamkniętej”. Co oznacza rozwiązanie w formie zamkniętej? W jaki sposób można ustalić, czy istnieje rozwiązanie bliskie dla danego problemu? Przeszukując online znalazłem pewne informacje, ale nic w kontekście opracowania statystycznego lub probabilistycznego modelu / rozwiązania.
Bardzo dobrze rozumiem regresję, więc jeśli ktokolwiek może wyjaśnić tę koncepcję w odniesieniu do regresji lub dopasowania modelu, będzie łatwo ją wykorzystać. :)
Odpowiedzi:
i
Przykładem rozwiązania w postaci zamkniętej w regresji liniowej byłoby równanie najmniejszych kwadratów
źródło
Większość procedur szacowania wymaga znalezienia parametrów, które minimalizują (lub maksymalizują) niektóre funkcje celu. Na przykład dzięki OLS minimalizujemy sumę kwadratów reszt. Dzięki oszacowaniu maksymalnego prawdopodobieństwa maksymalizujemy funkcję logarytmu wiarygodności. Różnica jest trywialna: minimalizację można przekształcić w maksymalizację przy użyciu negatywu funkcji celu.
Czasami ten problem można rozwiązać algebraicznie, tworząc rozwiązanie w formie zamkniętej. Dzięki OLS rozwiązujesz system warunków pierwszego zamówienia i otrzymujesz znaną formułę (choć prawdopodobnie potrzebujesz komputera, aby ocenić odpowiedź). W innych przypadkach nie jest to matematycznie możliwe i trzeba wyszukiwać wartości parametrów za pomocą komputera. W tym przypadku komputer i algorytm odgrywają większą rolę. Nieliniowe najmniejsze kwadraty to jeden przykład. Nie dostajesz wyraźnej formuły; otrzymujesz tylko przepis, który musisz wdrożyć na komputerze. Przepis można rozpocząć od wstępnego odgadnięcia, jakie mogą być parametry i jak mogą się różnić. Następnie wypróbujesz różne kombinacje parametrów i zobaczysz, który z nich daje najniższą / najwyższą wartość funkcji celu. Jest to podejście brutalnej siły i zajmuje dużo czasu. Na przykład,105
Lub możesz zacząć od zgadywania i dopracować to zgadywanie w pewnym kierunku, dopóki ulepszenia funkcji celu nie będą mniejsze niż pewna wartość. Są to zwykle nazywane metodami gradientowymi (chociaż istnieją inne, które nie używają gradientu do wybrania kierunku, w którym należy podążać, takie jak algorytmy genetyczne i symulowane wyżarzanie). Niektóre problemy, takie jak ta, gwarantują szybkie znalezienie właściwej odpowiedzi (kwadratowe funkcje celu). Inni nie dają takiej gwarancji. Możesz się martwić, że utknąłeś w lokalnym, a nie globalnym, optymalnym, więc wypróbuj szereg wstępnych domysłów. Może się okazać, że bardzo różne parametry dają tę samą wartość funkcji celu, więc nie wiesz, który zestaw wybrać.
źródło
Myślę, że ta strona internetowa zapewnia prostą intuicję, której fragment to:
źródło
Szukasz świeckich terminów lub bolesnego języka, który rygorystycznie określa znaczenie? Założę, że takie same warunki można znaleźć wszędzie. Powiedzmy, że chciałeś rozwiązania postaci zamkniętej pierwiastka kwadratowego z 8. Rozwiązanie postaci zamkniętej wynosi 2 * (2) ^ 1/2 lub dwa razy pierwiastek kwadratowy z dwóch. Jest to przeciwieństwo rozwiązania w postaci nie zamkniętej 2.8284. (zobacz pierwiastek kwadratowy z wikipedii z 2, aby zobaczyć, ale z dokładnością do 69 miejsc po przecinku, z dokładnością do 1/10 000) Jeden jest absolutnie zdefiniowany matematycznie, podczas gdy drugi nie jest. Rozwiązanie formularza zamkniętego zapewnia dokładną odpowiedź, a rozwiązanie, które nie jest formularzem zamkniętym, jest przybliżeniem, ale można uzyskać rozwiązanie formularza zamkniętego tak blisko, jak rozwiązanie formularza zamkniętego, jak chcesz. Brzmi to intuicyjnie, ale jeśli potrzebujesz bardziej dokładnego, po prostu przeprowadź trochę więcej obliczeń.
źródło
Forma zamknięta = forma zamknięta (funkcjonalna)
Zamknięty oznacza, że nic więcej nie może wejść do środka; to znaczy brak alternatywy => tylko jedno rozwiązanie => tylko jedna funkcja, która może ustalić związek między wynikiem a predyktorami.
źródło