Dlaczego Twierdzenie Bayesa działa graficznie?

Z matematycznego punktu widzenia Twierdzenie Bayesa ma dla mnie idealny sens (tj. Wyprowadzanie i dowodzenie), ale nie wiem, czy istnieje ładny argument geometryczny lub graficzny, który można wykazać, aby wyjaśnić Twierdzenie Bayesa. Próbowałem Googlinga w poszukiwaniu odpowiedzi na to pytanie i, co zaskakujące, nie znalazłem nic na ten temat.

Zasadniczo wystarczy narysować diagram Venna dwóch zachodzących na siebie kół, które mają reprezentować zestawy zdarzeń. Nazwij je A i B. Teraz przecięciem dwóch jest P (A, B), które można odczytać prawdopodobieństwo A AND B. Według podstawowych zasad prawdopodobieństwa, P (A, B) = P (A | B) P (B). A ponieważ nie ma nic specjalnego w A w porównaniu z B, musi to być również P (B | A) P (A). Zrównanie tych dwóch daje Twierdzenie Bayesa.

Twierdzenie Bayesa jest naprawdę bardzo proste. Statystyka bayesowska jest trudniejsza z dwóch powodów. Jednym z nich jest to, że przejście od mówienia o losowych rolach kości do prawdopodobieństwa, że ​​jakiś fakt jest prawdziwy, wymaga nieco abstrakcji. Wymagało to, abyś miał wcześniejszą, a ta wcześniejsza skuteczność wpływa na późniejsze prawdopodobieństwo, które otrzymasz. A kiedy po drodze trzeba zmarginalizować wiele parametrów, trudniej jest dokładnie zobaczyć, jak to wpływa.

Niektórzy uważają, że wydaje się to trochę okrągłe. Ale tak naprawdę nie ma sposobu na obejście tego. Dane analizowane za pomocą modelu nie prowadzą bezpośrednio do Prawdy. Nic nie robi. Pozwala po prostu aktualizować swoje przekonania w spójny sposób.

Inną trudną rzeczą w statystyce bayesowskiej jest to, że obliczenia stają się dość trudne, z wyjątkiem prostych problemów i dlatego cała matematyka jest wprowadzana, aby sobie z tym poradzić. Musimy wykorzystać każdą możliwą symetrię, aby ułatwić obliczenia lub zastosować symulacje Monte Carlo.

Tak więc statystyki bayesowskie są trudne, ale twierdzenie Bayesa wcale nie jest trudne. Nie myśl o tym za dużo! Wynika to bezpośrednio z faktu, że operator „AND” w kontekście probabilistycznym jest symetryczny. A i B są takie same jak B i A i wydaje się, że wszyscy rozumieją to intuicyjnie.

Fizyczny argument wyjaśniający to bardzo wyraźnie przedstawił Galton w dwuetapowym quincunx pod koniec 1800 roku.

Patrz ryc. 5 w Stigler, Stephen M. 2010. Darwin, Galton i oświecenie statystyczne. Journal of Royal Statistics Society: Series A 173 (3): 469-482.

Mam animacji prymitywny go tutaj (wymaga odpowiedniego wsparcia PDF do biegu).

Przekształciłem go również w alegorię na temat pomarańczy spadającej na głowę Galtona, którą spróbuję przesłać w przyszłości.

A może wolisz tutaj obraz odrzucenia ABC .

Ćwiczenie oparte na nim jest tutaj .

Artykuł z 10 stycznia 2020 r. Na temat medium wyjaśnia tylko jednym zdjęciem! Załóżmy, że

• Rzadka choroba zaraża tylko osób.$1/1000$
• Testy identyfikują chorobę z 99% dokładnością.

Jeśli jest 100 000 osób, 100 osób cierpi na rzadką chorobę, a reszta 99 900 nie ma jej. Jeśli przetestowanych zostanie 100 osób chorych, uzyska wynik pozytywny, a test negatywny. Ale ogólnie pomijamy to, że jeśli 99 900 zdrowych zostanie testom, 1% z nich (czyli ) przetestuje wynik fałszywie dodatni.$\color{green}{99}$$\color{red}{1}$$\color{#e68a00}{999}$

Teraz, jeśli wynik testu jest pozytywny, aby mieć chorobę, musisz być z osób z chorobą które uzyskały wynik pozytywny. Łączna liczba osób, które wynik pozytywny, to . Prawdopodobieństwo wystąpienia choroby, gdy wynik testu był pozytywny, to .$1$$\color{green}{99}$$\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}$$\dfrac{\color{green}{99}}{\color{green}{99}+\color{#e68a00}{999}} = 0.0901$