Wyjaśnienie filtrów Kalmana w modelach przestrzeni stanów

Jakie są kroki związane z użyciem filtrów Kalmana w modelach przestrzeni stanów?

Widziałem kilka różnych sformułowań, ale nie jestem pewien szczegółów. Na przykład Cowpertwait zaczyna się od następującego zestawu równań:

$$y_{t} = F^{'}_{t}\theta_{t}+v_{t}$$ $$\theta_{t} = G_{t}\theta_{t-1}+w_{t}$$

gdzie i , \ theta_ {t} to nasze nieznane szacunki, a y_ {t} to obserwowane wartości.$\theta_{0} \sim N(m_{0}, C_{0}), v_{t} \sim N(0,V_{t})$$w_{t} \sim N(0, W_{t})$$\theta_{t}$$y_{t}$

Cowpertwait definiuje zaangażowane rozkłady (odpowiednio: wcześniejsze, prawdopodobieństwo i tylne):

y t | θ t ∼ N (

$$\theta_{t}|D_{t-1} \sim N(a_{t}, R_{t})$$ θt| Dt∼N(mt,Ct $$y_{t}|\theta_{t} \sim N(F^{'}_{t}\theta_{t}, V_{t})$$ $$\theta_{t}|D_{t} \sim N(m_{t}, C_{t})$$

z

$$\begin{eqnarray} a_{t}&= G_{t}m_{t-1}, \qquad R_{t} &= G_{t}C_{t-1}G^{'}_{t} + W_{t} \\ e_{t}&=y_{t}-f_{t}, \qquad m_{t}&=a_{t}+A_{t}e_{t} \\ f_{t}&=F^{'}_{t}a_{t}, \qquad Q_{t}&=F^{'}_{t}R_{t}F_{t}+V_{t} \\ A_{t}&=R_{t}F_{t}Q^{-1}_{t}, \qquad C_{t}&=R_{t}-A_{t}Q_{t}A^{'}_{t} \end{eqnarray}$$

Nawiasem mówiąc, oznacza rozkład biorąc pod uwagę zaobserwowane wartości do . Prostsza notacja to ale będę trzymać się notacji Cowpertwait. θ t y t - 1 θ t | t - $\theta_{t}|D_{t-1}$$\theta_{t}$$y$$t-1$$\theta_{t|t-1}$

Autor opisuje również prognozę dla w kategoriach oczekiwań:$y_{t+1}|D_{t}$

$$E[y_{t+1}|D_{t}] = E[F^{'}_{t+1}\theta_{t+1} + v_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}E[\theta_{t+1}|D_{t}] = F^{'}_{t+1}a_{t+1} = f_{t+1}$$

O ile rozumiem, są to następujące kroki, ale proszę dać mi znać, jeśli wystąpi błąd lub niedokładność:

1. Zaczynamy od , , czyli domyślamy się wartości dla naszych szacunków . C 0 θ $m_{0}$$C_{0}$$\theta_{0}$
2. Przewidujemy wartość dla . Powinno to być równe czyli . jest znany od . f 1$y_{1}|D_{0}$$f_{1}$a1a1=G1m$F^{'}_{1}a_{1}$$a_{1}$$a_{1} = G_{1}m_{0}$
3. Gdy mamy nasze prognozy dla , obliczamy błąd . e 1 = y 1 - f $y_{1}|D_{0}$$e_{1} = y_{1} - f_{1}$
4. Błąd służy do obliczenia rozkładu tylnego który wymaga i . podano jako ważoną sumę wcześniejszej średniej i błędu: .$e_{1}$$\theta_{1}|D_{1}$$m_{1}$$C_{1}$$m1$$a_{1} + A_{1}e_{1}$
5. W następnej iteracji zaczniemy od przewidywania jak w kroku 1. W tym przypadku . Ponieważ i jest oczekiwaniem , które obliczyliśmy już w poprzednim kroku, możemy przystąpić do obliczenia błędu i średnia rozkładu tylnego jak poprzednio.$y_{2}|D_{1}$$f_{2} = F^{'}_{2}a_{2}$$a_{2} = G_{2}m_{1}$$m1$$\theta_{1}|D_{1}$$e_{2}$$\theta_{2}|D_{2}$

Myślę, że obliczenie rozkładu tylnego jest tym, co niektórzy nazywają krokiem aktualizacji, a użycie oczekiwania jest krokiem przewidywania.$\theta_{t}|D_{t}$$y_{t+1}|D_{t}$

Ze względu na zwięzłość pominąłem kroki, aby obliczyć macierze kowariancji.

Czy coś przegapiłem? Czy znasz lepszy sposób na wyjaśnienie tego? Myślę, że nadal jest to nieco niechlujne, więc może jest bardziej przejrzyste podejście.

Myślę, że to, co mówisz, jest poprawne i nie sądzę, że jest bałagan. Można by powiedzieć, że filtr Kalmana jest algorytmem korekcji błędów, który modyfikuje przewidywania w świetle rozbieżności z bieżącymi obserwacjami. Ta korekta jest wykonywana w kroku 4) przy użyciu macierzy wzmocnienia .$A_t$