Gęstość hiperpriora dla hierarchicznego modelu Gamma-Poissona

11

W hierarchicznym modelu danych którym wydaje się typowe w praktyce, aby wybierać wartości ( takie, że średnia i wariancja rozkładu gamma w przybliżeniu odpowiadają średniej i wariancji danych (np. Clayton i Kaldor, 1987 „Empirical Bayes Estimates of Standaryzated Age Relative Risks for Disease Mapping”, Biometrics ). Najwyraźniej jest to jednak rozwiązanie ad hoc , ponieważ zawyżałoby zaufanie badacza do parametrówy

yPoissona(λ)
λGamma(α,β)
α,β)y(α,β)małe fluktuacje w realizowanych danych mogą mieć duże konsekwencje dla gęstości gamma, nawet jeśli proces generowania danych pozostanie taki sam.

Ponadto w Bayesian Data Analysis (2nd Ed) Gelman pisze, że ta metoda jest „ niechlujna ”; w książce i tym artykule (począwszy od s. 3232) zamiast tego sugeruje, że należy wybrać gęstość hiperpriorową , w sposób podobny do przykładu guzów szczurów (początek s. 130).p(α,β)

Chociaż jasne jest, że jakiekolwiek jest dopuszczalne, o ile powoduje ono skończoną gęstość boczną, nie znalazłem żadnych przykładów gęstości hiperpriorów, które badacze stosowali w przeszłości dla tego problemu. Byłbym bardzo wdzięczny, gdyby ktoś mógł wskazać mi książki lub artykuły, które wykorzystywały gęstość hiperpriorów do oszacowania modelu Poissona-Gammy. Idealnie, interesuje mnie które jest względnie płaskie i byłyby zdominowane przez dane jak w przykładzie guza szczura lub dyskusję porównującą kilka alternatywnych specyfikacji i kompromisy związane z każdym z nich.p(α,β)p(α,β)

Sycorax mówi Przywróć Monikę
źródło

Odpowiedzi:

5

Naprawdę nie odpowiadam na pytanie, ponieważ nie wskazuję ci książek lub artykułów, które zatrudniały hiperpriora, ale opisuję i odsyłam do materiałów na temat priorów dotyczących parametrów gamma.

Po pierwsze, zauważ, że model Poissona-Gamma prowadzi, gdy jest zintegrowane, do ujemnego rozkładu dwumianowego o parametrach α i β / ( 1 + β ) . Drugi parametr należy do zakresu ( 0 , 1 ) . Jeśli chcesz być nieinformacyjny, odpowiedni może być wcześniejszy Jeffreys na p = β / ( 1 + β ) . Możesz umieścić pierwszeństwo bezpośrednio na p lub przejść przez zmianę zmiennych, aby uzyskać:λαβ/(1+β)(0,1)p=β/(1+β)p

p(β)β-1/2)(1+β)-1

Alternatywnie można zauważyć, że jest parametrem skali dla rozkładu gamma, a ogólnie rzecz biorąc, Jeffreys przed parametrem skali β wynosi 1 / β . Może wydawać się dziwne, że wcześniejsze Jeffreys dla β różni się między dwoma modelami, ale same modele nie są równoważne; jeden służy do dystrybucji y | α , β i drugi dotyczy rozkładu λ | α , β . Argumentem przemawiającym na korzyść tego pierwszego jest to, że przy założeniu braku grupowania dane naprawdę są dystrybuowane Dwumian ujemny ( α , pββ1/ββy|α,βλ|α,β , więc należy ustawić priory bezpośrednio na α i p . OTOH, jeśli na przykład masz klastry w danych, w których obserwacje w każdym klastrze mają to samo λ , naprawdę musiszjakośmodelować λs , a więc traktowanie β jako parametru skali rozkładu gamma wydaje się bardziej odpowiednie . (Moje przemyślenia na temat potencjalnie kontrowersyjnego tematu).(α,p)αpλλβ

Pierwszy parametr można również rozwiązać za pośrednictwem Jeffreys priors. Jeśli zastosujemy wspólną technikę opracowywania priorów Jeffreysa dla każdego parametru niezależnie, a następnie formowania połączenia (nie Jeffreysa) przedtem jako iloczyn dwóch priorytów jednoparametrowych, otrzymamy pierwszeństwo dla parametru kształtu rozkładu gamma:α

p(α)PG(1,α)

PG(1,α)=ja=0(ja+α)-2)1/β

Jeśli chcielibyśmy przejść trasę Full Jeffreys, tworząc prawdziwy Jeffreys przed parametrami Gamma, otrzymalibyśmy:

p(α,β)αPG(1,α)-1/β

Jednak priorytety Jeffreysa dla parametrów wielowymiarowych często mają złe właściwości, a także słabą charakterystykę zbieżności (patrz link do wykładu ). Nie wiem, czy tak jest w przypadku gamma, ale testowanie dostarczyłoby użytecznych informacji.

Aby uzyskać więcej informacji na temat priorów dla gamma, zobacz str. 13-14 w Katalogu nieinformacyjnych Priorów , Yang i Berger. Jest tam również wiele innych dystrybucji. Aby zapoznać się z Jeffreys i referencjami a priory, oto kilka notatek z wykładów .

łucznik
źródło
Dziękuję za bardzo szczegółową odpowiedź. Pełne przeczytanie materiałów pomocniczych i ogólne zapoznanie się z treścią posta zajmie mi kilka godzin. Proszę nie mylić mojego wolnego tempa z brakiem wdzięczności.
Sycorax mówi Przywróć Monikę