„Szacowanie gęstości jądra” jest splotem czego?

Próbuję lepiej zrozumieć szacowanie gęstości jądra.

Korzystanie z definicji z Wikipedii: https://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_density_estimation#Definition

$\hat{f_h}(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) \quad = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big)$

Weźmy być funkcją prostokątną, co daje , jeżeli wynosi między a i inaczej, a (wielkość okna) jest 1.1 x - 0,5 0,5 0 $K()$$1$$x$$-0.5$$0.5$$0$$h$

Rozumiem, że gęstość jest splotem dwóch funkcji, ale nie jestem pewien, czy wiem, jak zdefiniować te dwie funkcje. Jeden z nich powinien (prawdopodobnie) być funkcją danych, która dla każdego punktu w R mówi nam, ile punktów danych mamy w tej lokalizacji (głównie $0$ ). Inną funkcją powinna być prawdopodobnie modyfikacja funkcji jądra w połączeniu z rozmiarem okna. Ale nie jestem pewien, jak to zdefiniować.

Jakieś sugestie?

Poniżej znajduje się przykładowy kod R, który (podejrzewam) replikuje ustawienia, które zdefiniowałem powyżej (z mieszaniną dwóch Gaussów i $n=100$ ), na których mam nadzieję zobaczyć „dowód”, że funkcje, które należy zawrzeć, są takie, jak podejrzewamy .

# example code:
set.seed(2346639)
x <- c(rnorm(50), rnorm(50,2))
plot(density(x, kernel='rectangular', width=1, n = 10**4))
rug(x)

Odpowiadająca dowolnej partii danych $X = (x_1, x_2, \ldots, x_n)$ jest jej „funkcją gęstości empirycznej”

$$f_X(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-x_i).$$

Tutaj $\delta$ jest „funkcją uogólnioną”. Mimo tej nazwy nie jest to wcale funkcja: jest to nowy obiekt matematyczny, którego można używać tylko w całkach. Jego właściwością definiującą jest to, że dla dowolnej funkcji $g$ kompaktowego wsparcia, które jest ciągłe w sąsiedztwie $0$ ,

$$\int_{\mathbb{R}}\delta(x) g(x) dx = g(0).$$

(Nazwy dla $\delta$ obejmują miarę „atomową” lub „punktową” i „ funkcję delta Diraca .” W poniższym obliczeniu pojęcie to zostało rozszerzone o funkcje $g$ które są ciągłe tylko z jednej strony.)

Uzasadnieniem tej charakterystyki $f_X$ jest spostrzeżenie, że

$$\eqalign{ \int_{-\infty}^{x} f_X(y) dy &= \int_{-\infty}^{x} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{-\infty}^{x} \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \int_{\mathbb{R}} I(y\le x) \delta(y-x_i)dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} I(x_i \le x) \\ &= F_X(x) }$$

$F_X$$I$$1$$0$$\mathbb{R}$$I$$X$

$f_X(x)$$k$

$$\eqalign{ (f_X * k)(x) &= \int_{\mathbb{R}} f_X(x - y) k(y) dy \\ &=\int_{\mathbb{R}} \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &= \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\int_{\mathbb{R}} \delta(x-y-x_i) k(y) dy \\ &=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} k(x_i-x). }$$

$k(x) = K_h(-x)$$K_h(x)$