dotyczące niezależności warunkowej i jej reprezentacji graficznej

10

Podczas studiowania doboru kowariancji przeczytałem kiedyś następujący przykład. W odniesieniu do następującego modelu:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Macierz kowariancji i odwrotna macierz kowariancji podano w następujący sposób:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

I nie rozumiem, dlaczego niezależności i decyduje odwrotnym kowariancji tutaj?yxy

Jaka jest matematyczna logika leżąca u podstaw tego związku?

Ponadto, wykres po lewej stronie na poniższym rysunku zastrzeżono uchwycić związek niezależności pomiędzy i ; dlaczego?yxy

wprowadź opis zdjęcia tutaj

pytanie bitowe
źródło

Odpowiedzi:

11

Macierz odwrotnej kowariancji można wykorzystać do obliczenia warunkowych wariancji i kowariancji dla wielowymiarowych rozkładów Gaussa. Wcześniejsze pytanie zawiera pewne odniesienia

Na przykład, aby znaleźć warunkową kowariancję i przy wartości , należy wziąć prawy dolny róg macierzy odwrotnej kowariancjiZ X = xYZX=x

(1113) and re-invert it to (32121212)

co faktycznie daje macierz kowariancji i uwarunkowaną wartością .Z X = xYZX=x

Podobnie, aby znaleźć warunkową macierz kowariancji i biorąc pod uwagę wartość , weź lewy górny róg macierzy odwrotnej kowariancjiY Z = zXYZ=z

(1001) and re-invert it to (1001)

mówiąc ci, że kowariancja warunkowa między i dla wynosi (i że każda z ich warunkowych wariancji wynosi ). Y Z = z 0 1XYZ=z01

Aby dojść do wniosku, że ta zerowa kowariancja warunkowa implikuje warunkową niezależność, musisz również wykorzystać fakt, że jest to wielowymiarowy gaussowski (ponieważ ogólnie zerowa kowariancja niekoniecznie oznacza niezależność). Wiesz o tym z budowy.

Prawdopodobnie wiesz także o warunkowej niezależności od konstrukcji, ponieważ powiedziano ci, że i są iid, więc są uwarunkowane określoną wartością dla , i są również iid . Jeśli wiesz, , nie istnieje dodatkowe informacje od , który pomaga powiedzieć nic na temat możliwych wartości .ϵ 2 Z = z X = z + ϵ 1 Y = z + ϵ 2 Z = z X Yϵ1ϵ2Z=zX=z+ϵ1Y=z+ϵ2Z=zXY

Henz
źródło
0

Jest to uzupełnienie poprawnej i zaakceptowanej odpowiedzi. W szczególności pierwotne pytanie zawiera pytanie uzupełniające na temat stwierdzenia wydanego przez książkę.

XYwprowadź opis zdjęcia tutaj

To jest poruszone w tej odpowiedzi i jest to jedyna kwestia poruszona w tej odpowiedzi.

Aby upewnić się, że jesteśmy na tej samej stronie, w dalszej części wykorzystuję tę definicję (nieukierowanego) grafu niezależności warunkowej, który odpowiada (przynajmniej z grubsza) losowym polom Markowa:

XG=(K,E)K={1,2,,k}(i,j)XiXj|XK{i,j}XK{i,j}XiXj

Od p. 60 Whittaker, Modele graficzne w stosowanej matematycznej wielowymiarowej statystyce (1990).

XYZXY |Z

X,YZXYZ

XY

Jeśli chodzi o lewy wykres, nie ma jasności bez większego kontekstu, ale myślę, że chodzi o to, aby pokazać, jak wyglądałby wykres warunkowej niezależności, gdybyśmy nie mieli zer w tych pozycjach odwrotnej macierzy kowariancji.

X,Y,Z

Chill2Macht
źródło