Jestem w klasie statystyk wprowadzających, w której funkcja gęstości prawdopodobieństwa ciągłych zmiennych losowych została zdefiniowana jako . Rozumiem, że całka z ale nie mogę tego naprawić za pomocą intuicji ciągłej zmiennej losowej. Powiedz X to zmienna losowa równa liczbie minut od czasu t, kiedy pociąg przyjeżdża. Jak obliczyć prawdopodobieństwo dotarcia pociągu dokładnie za 5 minut? Jak to prawdopodobieństwo może wynosić zero? Czy to nie jest możliwe Co jeżeli pociąg ma przyjechać dokładnie 5 minut od teraz, jak to mogło mieć miejsce gdyby prawdopodobieństwo 0?a ∫ a f ( x ) d x = 0
Dzięki.
probability
random-variable
pdf
continuous-data
geofflittle
źródło
źródło
Odpowiedzi:
Być może wpadłeś w pułapkę, że „pięć minut od teraz” trwa przez określony czas (co miałoby niezerowe prawdopodobieństwo).
„Pięć minut od teraz” w sensie ciągłej zmiennej jest naprawdę natychmiastowe.
Wyobraź sobie, że przyjazd następnego pociągu rozkłada się równomiernie między 8:00 a 8:15. Ponadto wyobraźmy sobie, że definiujemy przybycie pociągu jako występujące w chwili, gdy przód pociągu mija określony punkt na stacji (być może środek peronu, jeśli nie ma lepszego punktu orientacyjnego). Rozważ następującą sekwencję prawdopodobieństw:
a) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05 a 8:10
b) prawdopodobieństwo przybycia pociągu między 8:05 a 8:06
c) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05:00 a 8:05:01
d) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05:00 a 8: 05: 00.01 (tj. w przestrzeni jednej setnej sekundy
e) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05 a jedną miliardową sekundy później
f) prawdopodobieństwo, że pociąg przyjedzie między 8:05 a jedną kwadrylionową sekundy później
... i tak dalej
Prawdopodobieństwo, że dotrze dokładnie o 8:05, jest wartością graniczną takiej sekwencji prawdopodobieństw. Prawdopodobieństwo jest mniejsze niż co .ϵ > 0
źródło
Oświadczenie probabilistyczne nie jest stwierdzeniem o możliwości / wykonalności zdarzenia. Odzwierciedla jedynie naszą próbę oszacowania naszej niepewności co do tego, co się dzieje. Kiedy więc zjawisko ma charakter ciągły (lub jest modelowane jako jeden), wówczas nasze narzędzia i obecny stan wiedzy nie pozwalają nam na stwierdzenie probabilistyczne o tym, że przyjmuje określoną wartość . Możemy jedynie złożyć takie oświadczenie dotyczące zakresuwartości. Oczywiście zwykłą sztuczką jest tutaj dyskretne wsparcie, aby rozważyć „małe” przedziały wartości zamiast pojedynczych wartości. Ponieważ ciągłe zmienne losowe przynoszą ogromne korzyści i elastyczność w porównaniu z dyskretnymi zmiennymi losowymi, okazało się, że jest to raczej niewielka cena do zapłacenia, być może tak mała, jak interwały, które musimy wziąć pod uwagę.
źródło
Aby dać ci trochę intuicji w powyższym, wypróbuj następujący (myślowy) eksperyment:
Narysuj linijkę wokół zera wokół zera. Teraz weź ostrą strzałkę i niech spadnie losowo z góry na linię (załóżmy, że zawsze trafisz na linię i tylko argumentacja boczna ma znaczenie dla argumentu).
Niezależnie od tego, ile razy pozwolisz, aby lotka spadła losowo na linię, nigdy nie osiągniesz punktu zero. Czemu? Pomyśl, jaki jest punkt zero, pomyśl, jaka jest jego szerokość. A kiedy zauważysz, że jego szerokość wynosi 0, nadal myślisz, że możesz go trafić?
Czy będziesz w stanie trafić punkt 1 lub -2? Lub jakikolwiek inny punkt, który wybierzesz w tej sprawie?
Wracając do matematyki, jest to różnica między światem fizycznym a matematyczną koncepcją, taką jak liczby rzeczywiste (reprezentowane przez linię rzeczywistą w moim przykładzie). Teoria prawdopodobieństwa ma nieco bardziej skomplikowaną definicję prawdopodobieństwa, niż zobaczysz w swoim wykładzie. Aby oszacować prawdopodobieństwo wystąpienia zdarzeń i dowolną kombinację ich wyników, potrzebujesz miary prawdopodobieństwa. Zarówno miara Borela, jak i miara Lebesgue'a są zdefiniowane dla przedziału [a, b] na linii rzeczywistej jako: z tej definicji można zobaczyć, co stanie się z prawdopodobieństwem, jeśli zmniejszysz interwał do liczby (ustawienie a = b).
Najważniejsze jest to, że w oparciu o naszą obecną definicję teorii prawdopodobieństwa (datowaną na Kołmogorowa) fakt, że zdarzenie ma 0 prawdopodobieństwa, nie oznacza, że nie może wystąpić.
I jeśli chodzi o przykład z pociągiem, jeśli będziesz miał nieskończenie precyzyjny zegarek, Twój pociąg nigdy nie dotrze dokładnie na czas.
źródło
Rozkład prawdopodobieństwa musi mieć obszar jedności. Jeśli miara jest ciągła, wówczas istnieje nieskończona liczba wartości, które może przyjąć (tj. Nieskończona liczba wartości wzdłuż osi x rozkładu). Jedynym sposobem, w jaki całkowity obszar rozkładu prawdopodobieństwa może być skończony, jest to, aby wartość dla każdej z nieskończonej liczby wartości wynosiła zero. Jeden podzielony przez nieskończoność.
W „prawdziwym życiu” nie może być żadnych miar, które przyjmowałyby nieskończoną liczbę wartości (według kilku różnych argumentów filozoficznych, które nie mają tutaj większego znaczenia), więc żadna wartość nie musi przyjmować prawdopodobieństwa dokładnie zero. Przydatny argument praktyczny opiera się na skończonej precyzji pomiarów w świecie rzeczywistym. Jeśli użyjesz stopera mierzącego do jednej dziesiątej sekundy, pociąg będzie miał jedną dziesiątą sekundy, na którą dotrze „dokładnie” pięć minut.
źródło
Piszę to, aby, mam nadzieję, odnieść się do czegoś innego, co OP powiedział w komentarzach:
źródło