Metody dopasowania „prostego” modelu błędu pomiaru

Szukam metod, które można wykorzystać do oszacowania modelu błędu pomiaru „OLS”.

x i = X i + e x , i Y i = α + β X

Gdzie błędy są niezależne normalne z nieznanymi wariancjami i . „Standardowy” OLS nie będzie w tym przypadku działał. σ 2 $\sigma_{y}^{2}$$\sigma_{x}^{2}$

Wikipedia ma kilka nieprzyjemnych rozwiązań - dwie podane siły zmuszają cię do założenia, że ​​albo „współczynnik wariancji” lub „ współczynnik niezawodności " jest znany, gdzie jest wariantem prawdziwego regresora . Nie jestem tym usatysfakcjonowany, ponieważ jak ktoś, kto nie zna różnic, może poznać ich stosunek? λ=σ 2 $\delta=\frac{\sigma_{y}^{2}}{\sigma_{x}^{2}}$ σ 2 X X$\lambda=\frac{\sigma_{X}^{2}}{\sigma_{x}^{2}+\sigma_{X}^{2}}$$\sigma_{X}^2$$X_i$

W każdym razie, czy są jakieś inne rozwiązania oprócz tych dwóch, które nie wymagają ode mnie „znajomości” parametrów?

Rozwiązania tylko dla przechwytywania i nachylenia są w porządku.

Istnieje szereg możliwości opisanych przez JW Gillarda w historycznym przeglądzie regresji liniowej z błędami w obu zmiennych

Jeśli nie interesują Cię szczegóły ani powody, dla których wybierasz jedną metodę zamiast drugiej, po prostu wybierz najprostszą, czyli narysuj linię przez środek ciężkości z nachyleniem , tj. stosunek zaobserwowanych odchyleń standardowych (czyniąc znak nachylenia tym samym co znak kowariancji i ); jak zapewne możesz się poćwiczyć, daje to przecięcie osiβ = y r / y x x Y Y α = ˉ Y - β ˉ x$(\bar{x},\bar{y})$$\hat{\beta}=s_y/s_x$$x$$y$$y$$\hat{\alpha}=\bar{y}-\hat{\beta}\bar{x}.$

Zalety tego konkretnego podejścia są następujące

1. daje tę samą linię porównując względem jak względem ,y y $x$$y$$y$$x$
2. jest niezmienny w skali, więc nie musisz się martwić o jednostki,
3. leży między dwiema zwykłymi liniowymi liniami regresji
4. przecina je tam, gdzie przecinają się w środku ciężkości obserwacji, i
5. bardzo łatwo to obliczyć.

Nachylenie jest średnią geometryczną nachyleń dwóch zwykłych nachyleń regresji liniowej. Jest też, co można uzyskać, jeśli standaryzowany przez i obserwacje, narysował linię pod kątem 45 ° (lub 135 °, jeśli istnieje korelacja ujemna), a następnie de-standaryzowany linię. Można to również uznać za równoważne z domniemanym założeniem, że wariancje dwóch zestawów błędów są proporcjonalne do wariancji dwóch zestawów obserwacji; o ile mogę powiedzieć, twierdzisz, że nie wiesz, w którą stronę jest to źle.$x$$y$

Oto kod R do zilustrowania: czerwona linia na wykresie to regresja OLS dla na , niebieska linia to regresja OLS dla na , a zielona linia to ta prosta metoda. Pamiętaj, że nachylenie powinno wynosić około 5.X X $Y$$X$$X$$Y$

X0 <- 1600:3600
Y0 <- 5*X0 + 700
X1 <- X0 + 400*rnorm(2001)
Y1 <- Y0 + 2000*rnorm(2001)
slopeOLSXY  <- lm(Y1 ~ X1)$coefficients[2]     #OLS slope of Y on X
slopeOLSYX  <- 1/lm(X1 ~ Y1)$coefficients[2]   #Inverse of OLS slope of X on Y
slopesimple <- sd(Y1)/sd(X1) *sign(cov(X1,Y1)) #Simple slope
c(slopeOLSXY, slopeOLSYX, slopesimple)         #Show the three slopes
plot(Y1~X1)
abline(mean(Y1) - slopeOLSXY  * mean(X1), slopeOLSXY,  col="red")
abline(mean(Y1) - slopeOLSYX  * mean(X1), slopeOLSYX,  col="blue")
abline(mean(Y1) - slopesimple * mean(X1), slopesimple, col="green")