Oczekiwana wartość minimalnej statystyki zamówienia z próbki normalnej

9

AKTUALIZACJA 25 stycznia 2014: błąd został teraz naprawiony. Zignoruj ​​obliczone wartości oczekiwanej wartości w przesłanym obrazie - są one nieprawidłowe - nie usuwam obrazu, ponieważ wygenerował on odpowiedź na to pytanie.

AKTUALIZACJA 10 stycznia 2014: znaleziono błąd - literówkę matematyczną w jednym ze źródeł. Przygotowanie korekty ...

Gęstość statystyki minimalnego rzędu z kolekcji iid ciągłych zmiennych losowych z cdf i pdf wynosi nFX(x)fX(x)

fX(1)(x(1))=nfX(x(1))[1FX(x(1))]n1[1]

Jeśli te losowe zmienne są standardowe normalne, to

fX(1)(x(1))=nϕ(x(1))[1Φ(x(1))]n1=nϕ(x(1))[Φ(x(1))]n1[2]
więc jego oczekiwana wartość to
E(X(1))=nx(1)ϕ(x(1))[Φ(x(1))]n1dx(1)[3]

gdzie zastosowaliśmy symetryczne właściwości standardowej normy. W Owen 1980 , s. 402, równ. [ N, 011 ] stwierdzamy, że

zϕ(z)[Φ(az)]mdz=am(a2+1)(2π)ϕ(z)[Φ(aza2+1)]m1dz[4]

Dopasowujemy parametry między równaniami i ( , ) otrzymujemy[3][4]a=1m=n1

E(X(1))=n(n1)2πϕ(x(1))[Φ(x(1)2)]n2dx(1)[5]

Ponownie w Owen 1980, str. 409, eq [ n0,010,2 ] znajdujemy to

[i=1mΦ(hidiz1di2)]ϕ(z)dz=Zm(h1,...,hm;{ρij})[6]

gdzie to standardowa normalna wielowymiarowa normalna, to współczynniki korelacji parami i .Zm()ρij=didj,ij1di1

Dopasowując i mamy, , , i [5][6]m=n2hi=0,i

di1di2=12di=±13iρij=ρ=1/3

Korzystając z tych wyników, staje się eq[5]

E(X(1))=n(n1)2πZn2(0,...,0;ρ=1/3)[7]

Ta wieloczynnikowa normalna całka prawdopodobieństwa normalnego zmiennych skorelowanych równorzędnie, wszystkie oszacowane na zero , doczekała się wystarczających badań i uzyskano różne sposoby jej przybliżenia i obliczenia. Obszernym przeglądem (związanym z obliczaniem wielowymiarowych całek normalnych prawdopodobieństwa ogólnie) jest Gupta (1963) . Gupta podaje wyraźne wartości dla różnych współczynników korelacji i dla maksymalnie 12 zmiennych (więc obejmuje zbiór 14 zmiennych). Rezultaty to (OSTATNIA KOLUMNA JEST ŹLE) :

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Teraz, jeśli wykreślimy, jak zmienia się wartość pomocą , otrzymamyZn2(0,...,0;ρ=1/3)n

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Tak więc dochodzę do moich trzech pytań / próśb:
1) Czy ktoś mógłby sprawdzić analitycznie i / lub zweryfikować przez symulację, że wyniki dla oczekiwanej wartości są prawidłowe (tj. Sprawdzić ważność równania )?[7]

2) Zakładając, że podejście jest poprawne, czy ktoś mógłby dać rozwiązanie dla normalnych z niezerową średnią i niejednolitą wariancją? Po tych wszystkich przemianach mam zawroty głowy.

3) Wartość całki prawdopodobieństwa wydaje się ewoluować płynnie. Co powiesz na przybliżenie go za pomocą funkcji ?n

Alecos Papadopoulos
źródło

Odpowiedzi:

6

Twoje wyniki nie wydają się prawidłowe. Łatwo to zobaczyć, bez żadnych obliczeń, ponieważ w twojej tabeli twoje rośnie wraz z rozmiarem próbki ; wyraźnie, oczekiwana wartość minimum próbki musi się zmniejszyć (tj. stać się bardziej ujemna) w miarę wzrostu wielkości próbki .E[X(1)] nn

Problem jest koncepcyjnie dość łatwy.

W skrócie: jeśli ~ z pdf :XN(0,1)f(x)

wprowadź opis zdjęcia tutaj

... to pdf statystyki pierwszego rzędu (w próbce o rozmiarze ) to:n

wprowadź opis zdjęcia tutaj

... uzyskane tutaj za pomocą OrderStatfunkcji w mathStatica, z domeną wsparcia:

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Następnie dla można łatwo uzyskać dokładnie tak, jak:E[X(1)]n=1,2,3

wprowadź opis zdjęcia tutaj

Dokładny przypadek wynosi w przybliżeniu , co oczywiście różni się od twoich działań w zakresie -1.06 (wiersz 1 tabeli), więc wydaje się jasne, że coś jest nie tak z twoimi działaniami (lub może moje rozumienie tego, czego szukasz) .n=30.846284

W przypadku uzyskanie rozwiązań w formie zamkniętej jest trudniejsze, ale nawet jeśli integracja symboliczna okaże się trudna, zawsze możemy zastosować integrację numeryczną (w razie potrzeby z dowolną precyzją). Jest to naprawdę bardzo łatwe ... tutaj, na przykład, jest , dla wielkości próbki do 14, przy użyciu Mathematica :n4E[X(1)]n=1

 sol = Table[NIntegrate[x g, {x, -Infinity, Infinity}], {n, 1, 14}]

{0., -0.56419, -0.846284, -1.02938, -1.16296, -1.26721, -1.35218, -1.4236, -1.48501, -1.53875, -1.58644, -1.62923, -1.66799, -1.70338}

Wszystko gotowe. Te wartości są oczywiście bardzo różne od tych w tabeli (prawa kolumna).

Aby rozważyć bardziej ogólny przypadek rodzica , postępuj dokładnie tak, jak powyżej, zaczynając od ogólnego pliku Normal pdf.N(μ,σ2)

wilki
źródło
Dziękuję za odpowiedź. Rzeczywiście, zauważyłem zbytnio, że coś jest nie tak z wynikami liczbowymi - w końcu oczekiwana wartość powinna rosnąć w wartościach bezwzględnych, a nie zmniejszać się wraz ze wzrostem liczby . Pozostawiłem taką odpowiedź, jaka jest, aby sprawdzić, czy mogę uzyskać wgląd w jakąkolwiek odpowiedź. Wciąż szukam na poziomie teoretycznym, gdzie dokładnie jest błąd, a podejrzany jest pierwszym równaniem, którego używam od Owena (ponieważ drugie zostało zweryfikowane przez inne źródła) ... tak przy okazji, czy możesz sprawdzić, czy to równanie w mój post (jako samodzielna transformacja) jest poprawny? Byłabym wdzięczna. n4
Alecos Papadopoulos,